从教材习题浅谈定义法求点的轨迹方程

刘刚

求点的轨迹方程时，对明显蕴含几何条件，如动点与定点、定直线间的等量关系满足圆锥曲线的定义，则可以直接用定义法先确定轨迹类型，再写出方程，下面从教材习题入手浅谈一下定义法求点的轨迹方程.

一、课本题目

1.人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，P49第7题

如图①，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点Q在圆上运动时，点 的轨迹是什么？为什么？

思路：解题时弄清条件总蕴含的几何关系，利用其几何特征写出等式，使问题简化.

解：如图②，连接QA、OA. 由已知，得|QA|=|QP|.

所以，|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.

2.人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，P62第5题

如图③，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

解：如图④，连接QA、OA. 由已知，得 .

所以，.又因为点A在圆外. 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线.

二、高考链接

2013年新课标全国卷Ⅰ，理20题. 已知圆M：，圆N：，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；

解：由已知得圆M的圆心为，半径；圆N的圆心为，半径.

设圆P的圆心，半径为R. 由动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.

变式：将本题中圆M，圆N的方程变为“圆M：，圆N：”，其余条件不变，求C的方程？（答案： .）

解题时根据几何条件产生的相关有利结论，缩减过程，多思少算，若动点与定点或定直线满足圆锥曲线的定义，可直接写出方程，再判断曲线上的点是否都满足题意.

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中新课程标准试验教科书数学选修2—1（A版）〔M〕.北京：人名教育出版社，2005：49、62.