数学慢教育科学认知的四种形态

朱桂凤　孙朝仁

摘要数学慢教育范畴的科学认知形态是在研究现有文献的基础上，结合学生的数学事实和认知规律进行层次性划分，包括整体主义形态、监控主义形态、直观主义形态和客观主义形态.这些科学认知形态具有思维清楚、概念透明的理性价值特征，投射了慢教育数学“大过程”的过程性思想和科学认知精神.

关键词慢教育；数学；科学认知

数学慢教育[1]作为认识论范畴一种科学认知学，起于意义建构，终于数学理解，终归于科学认知形态的定向发展.已有文献将科学认知理解分为四个层面：工具性理解模式、关系性理解模式、直觉性理解模式和形式性理解模式[2].这些结构化心理模式在一定维度决定个体学习能力的层次.数学认知理解在众多数学能力因素中占据核心地位，在数学学习过程中表现为素养层面的个性心理品质.数学慢教育范畴的科学认知形态是在现有文献研究基础上，结合学生的数学现实和认知规律进行层次性划分，包括整体主义形态、监控主义形态、直观主义形态和客观主义形态.这些科学认知形态的“大过程”特征是思维清楚、概念透明.

工具性理解[3]是一种程序性理解即一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作.程序性本身具有“通体相关”的特性，揭示慢教育整体主义认知形态的过程要义.关系性理解[4]则需要添加符号意义和替代物本身结构上的认识.关系理解是元认知作用的过程，反映慢教育监控主义认知形态的思想意义.直觉性理解是在观察、想像、审美活动中，产生突如其来的顿悟和理解，具有逻辑程序高度约简的特点[5].直觉性是直观选择作用的概括化，体现慢教育直观主义认知形态的科学性质.形式性理解是对数学对象的外在表征，是数学观念、思想、方法客观化的结果，是事实数学与数学事实联结的介质[6].形式性是数学概念得以还原的外在法定的标准，投射慢教育客观主义认知形态的科学精神.

1整体主义认知形态

迪尔凯姆在认识论上坚持整体主义取向，认为社会事实必须在社会结构中得到解释；在价值观上，体现集体主义取向[7].把这种整体主义社会关系论借用到数学慢教育认识形态领域，则反映慢教育整体认知的科学性.社会事实与社会结构关系的关系，正是慢教育整体认知的思想渊源.换句话说，整体认知不是孤立行为，而是系统行为.在数学解题学领域我们挂在嘴边的口号就是“做一题、通一类、连一片”.事实上，数学慢教育背景下，整体主义认知形态的本质就是把问题放在系统层面去解决，带有科学性“知一点、识一线、明一片”的整体意义.不是“头痛医头，脚痛医脚”的局部观.尤其是核心概念的建设问题，不仅要让学生掌握课时背景下的“小概念”（静态概念），还要放在单元系统层面，通过横向关联、纵向链接等拉长概念思维长度的方式，实现对“大概念”（范式概念）的定性把握.

数学慢教育课堂整体主义认知形态具体表现在以下三个层面：一是站在系统思维层面设计整体性问题；二是以问题组块的形式进行整体架构；三是以还原概念作为数学思考的主流.比如我们在“探索三角形相似的条件”时.苏科版九年级《数学》下册编者是按照“平行线等分线段定理→两角对应相等→两边对应成比例且夹角相等→三边对应成比例”的逻辑顺序展开的，遵循“前概念+证实+应用”的思维线索，即“一课一条件”的板块学习式.这种“割裂带”认知形态有利于学生暂时掌握课时“小概念”，但因缺乏概念的系统性，造成出了课堂就被忘掉的认知事实.课题组基于整体认知形态，对该教材进行整合、重组和改造，将4个课时进行系统性立体划分.第1课时专门研究三角形相似四个条件的前概念；第2课时主流任务是证实三角形相似的条件；第3课时是学以致用；第4课时是综合变式并链接中考及后续待学内容.如果整合是系统思维的内在需求，那么重组是整体认知的逻辑起点，改造则是科学认知的最高目标.事实上，课时重新划分本身就反映整体主义认知思想，综合变式与链接行为则是问题组块的组织路径，而寻找前概念、证实以及致用等整体认知形态则是还原概念的外在表现，实现了概念在概念系统中生成的整体主义认知取向.2监控主义认知形态

监控主义属于元认知范畴，元认知包括策略性知识、认知任务知识、背景和条件知识以及自我知识[8].现代信息加工心理学，提出高效学习心理结构主要包括选择性注意、元认知、学习策略、非智力因素、内隐认知等要素[9].数学元认知包括数学元认知知识、元认知体验与元认知监控.其中元认知体验与自觉监控自己的数学行为过程，是一种高级形态的学习要求，不易支配实行与适切评价.数学慢教育研究组，基于策略性方法层面提出可操作的“反问式监控”和“追问式调节”.反问式监控主要是让学生在数学活动中即时解释在做什么，为什么做，随后还需要做什么等哲学层面的动作行为；追问式调节则倾向于怎么做，做得怎样，还可以怎样做的数学哲学思考.其实监控认知形态是数学认知关系中最活跃的因素，能有效促进问题产生式定向形成，是“定法多用”的典型方法.

数学慢教育课堂监控主义认知形态具体表现在以下层面：一是让学生在活动中养成反思的习惯；二是让学生在问题解决中提出质疑的习惯，三是让学生在小结“节点处”提出批判性思考.比如，我们在研究“组合矩形”新概念时，设计了如下监控认知活动：（1）图1是一块直角三角形纸片.将该三角形纸片按下图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.试说明△CBE是等腰三角形；（2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”.你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕；（3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）.请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形？问题（1）证实等腰三角形的过程就是对“折”的活动的具体反思；问题（2）（3）折和画满足特定条件的组合矩形行为就是质疑思维的养成事件，尤其是对“斜三角形”本质定位，则是质疑的内部表现；问题（4）探讨非特殊四边形折成组合矩形条件的过程就是批判思维发挥作用的过程.事实上，就统觉加工论而言，“折”与“画”的动作本身就带有强烈的反思（我在做什么）和质疑（这样做的结论是什么）性质.由菱形性质的示范性研究（对角线互相垂直），到一般非特殊四边形条件的探讨（对角线必须满足怎样的条件，才能实现目标），学生的批判性思维在监控与调节中呈现“不平衡→平衡→不平衡”的状态，终于新概念的定向迁移（非特殊四边形必须满足对角线垂直的条件）.

图1图2图3图43直观主义认知形态

直观（intuition）主义带有强烈的哲学色彩，其核心内容是“存在必须是被构造”.为此，数学中的直观主义与哲学中的康德主义具有内在一致性，主张数学概念由人类的理性构造形成.数学对象的构造就是人们先验的在直观中画出与概念相应的图形，因此构造数学需要非经验的直观.数学家克莱因认为，数学的直观就是对概念、证明的直接把握[10].可见，直观具有缩短发现真理历程的作用，对数学概念的理解与生长具有不可替代性特征.这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“后课程标准”）为什么把“几何直观”作为十大核心概念之一提出的重要原因.数学慢教育课堂的直观主义认知形态就是通过选择直观性材料，让学生在直观活动中寻找“前概念”，在直观“做数学”中还原主概念，在直观“用数学”中延伸后概念，终于对数学概念的直接理解和知性把握.

“后课程标准”指出，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果；可以帮助学生直观的理解数学.这些直观化的作用正是数学慢教育选择直观认知出发的理由.众所周知，“因式分解”对于形象思维尚占主导地位的初中学生来说，“说教式”认知理解是困难的.为此，慢教育课题组选择直观实验的方式，帮助学生理解“多项式的因式分解”.具体操作如下：首先让学生准备边长为a的正方形纸片若干张，边长为b的正方形纸片若干张，长为a、宽为b的长方形纸片若干张.其次让学生任意拼正方形，并写出边长与面积的关系式.再次让学生用边长不同的两个正方形沿邻边覆盖的方式，规定阴影部分为减去覆盖部分的面积，用不同方法表示阴影部分的面积，并写出关系式.最后让学生写出简单的多项式并进行因式分解，再通过拼图的方式验证其正确性.“拼图”是苏科版《数学》七年级下册第九章章末设置的数学活动，目的是初步引动“数形结合”经验.任意拼正方形的认知行为就是寻找因式分解的前概念行为；覆盖活动的探讨就是解决拼图不完备（“纯和”形式的多项式）的弊端，为“完形”理解因式分解提供直观的加工材料；任意“写→拼→写”以及内部关系的寻求是直观还原概念的关键性事件，也是直观“用数学”的典型案例.这些直观的做、说、用的活动过程与结果，终于因式分解概念本质的直接把握和定向生长.4客观主义认知形态

客观主义坚持物质世界是实在的、有结构的，人类的思维任务就是反映这些客观实体及其结构.这是数学慢教育坚守客观主义认知行为的科学根据.已有文献[11]指出，数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、内容与形式的分离为前提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是客观数学化.这就说明数学的抽象与现实世界是紧密联系的，客观化（形式化）既可以刻画具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次的抽象.数学通过形式化能实现它的精确性，但数学思想是独立于言语的形式之外的客观精神实体，同时数学又必须通过一定的形式来表达，才能实现其严格化和完美化.数学慢教育作为客观辩证法范畴，认知理解形态的客观性具体表现在三个维度：一是通过活动让学生切身经历“事实经验→个体经验→客观经验”的转化过程；二是让学生在形成和同化概念的过程中把握概念的客观属性；三是让学生在问题解决中认识“原型内化”对知识加工的客观意义.

我们在研究苏科版九年级《数学》上册“等可能性”时，就是基于客观主义认知形态把握概念的.思维反应块组织如下：（1）你能用数学眼光揭示成语故事“瓮中捉鳖”“一箭双雕”“守株待兔”“水中捞月”的数学属性吗？（2）一个不透明的袋中装有除标号外质地一样的10个小球，你认为每次只摸一个球，有几种结果，这些结果是等可能的吗？（3）在（2）的背景下，袋中只有2个红球和1个白球，每次只摸一个球，摸到红球和白球的可能性一样吗？为什么？学生对问题（1）的个性理解、集体研讨、认证判断的过程就是“个体经验”到“公共经验”客观化的认识过程，反映加工概念的客体意义，并使得随机事件、必然事件和不可能事件的数学内部关系趋于结构化，为新知学习提供客观经验根据.对问题（2）的探讨过程就是学生形成并同化概念的客观形态，抽象概念本质属性的行为就是形式化数学的外在表现.对问题（3）的解决则是“用数学”的客观表现，揭示了概念的本质特征（是随机事件、每次只有一个结果、结果具有等可能性）对问题解决的客观指导意义.由此可见，数学慢教育客观主义认知数学的本质就是在生活中提炼数学，在数学思考中联系生活，终于原型定向到原型内化的科学认识观.作为数学思维成果或对象的抽象物（模式），一经构造出来就具有“形式客观性”和独立存在性，因而立即获得了自己的生命，从而又可以成为后继的进一步抽象的具体原型（或实际背景）.[12]这既反映慢教育客观主义认知形态的本质要义（模式建立与形式客观性共存），又在形式化层面揭示客观概念（等可能性）反应块建设的科学意义.

数学慢教育科学认知不止于以上四种主流认知形态，还包括表象主义认知形态、经验主义认知形态、结构主义认知形态以及审美主义认知形态等带有流变性特征的思维科学，限于文本研究方向，在这里不予研究.

参考文献

[1]朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育研究综述[J].江苏教育研究，2013（7A）：47-50.

[2]马复.试论数学理解的两种类型：从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001（3）：52-55.

[3][4]王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2010：73.

[5]萧柏荣.数学教育探索五十年[M].南京：南京大学出版社，2012：44-51.

[6]徐文彬.关于数学文化视域中数学学习的构想[J].数学教育学报，2014（5）：1-5.

[7]施磊磊.一种“科学”认知范式的产生——读迪尔凯姆《社会学方法论的准则》[J].西安社会科学，2009（9）：43-45.

[8]黄梅，黄希挺.知识的加工与教学条件[J].教育研究，2015（7）：108-115.

[9]沈德立.高效率学习的心理学研究[M].上海：商务印书馆，2000：26-27.

[10][11]秦德生，孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考，2005（10）：9-11.

[12]徐利治.徐利治论数学方法学[M].济南：山东教育出版社，2001：170.