疲劳裂纹形核寿命的细观概率模型

周金宇,谢里阳,朱福先,韩文钦(.江苏理工学院常州市装备再制造工程高技术重点实验室,江苏常州300; .东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳0004)



疲劳裂纹形核寿命的细观概率模型

周金宇1,谢里阳2,朱福先1,韩文钦1
(1.江苏理工学院常州市装备再制造工程高技术重点实验室,江苏常州213001; 2.东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳110004)

摘要:裂纹形核是结构疲劳损伤演化的初级阶段。基于Tanaka-Mura微裂纹形核机制,提出恒幅交变载荷下结构表面疲劳裂纹形核寿命的细观概率模型。设细观尺度的晶粒尺寸、晶粒取向欧拉角为随机变量,借助Schmidt因子建立细观主应力与分解切应力之间的关系。考虑到晶粒取向随机性和紧邻晶粒影响因素,导出分解切应力变程的概率分布。进一步运用矩法和次序统计量模型获得任一晶粒中疲劳裂纹形核寿命和结构热区晶粒群多裂纹分散形核寿命的概率分布。数值算例验证了所提模型与方法的可行性和合理性。新模型在裂纹形核寿命研究中引入了细观物理参数和几何参数的概率统计信息,可为多晶体金属结构件的疲劳可靠性评估和抗疲劳概率设计开辟精细化分析的新途径。

关键词:固体力学;疲劳;裂纹形核寿命;细观尺度;概率分析

0　引言

疲劳失效是工程结构中普遍存在的物理现象。自Wöhler将疲劳纳入科学研究的范畴以来,工程界已陆续提出许多概率分析模型与方法[1-2]。但从当前的工程应用来看,多数研究主要关注唯象易测的宏观尺度变量,而对晶体学细观尺度乃至更小尺度的研究仅以定性分析或确定性定量分析为主[3]。通常将隐性难测的细观尺度变量聚合成缺乏物理内涵的材料常数,先从宏观唯象学角度建立载荷、强度、寿命之间的确定性关系,再对变量进行随机化处理获得用于疲劳可靠性分析的经验模型。该类模型存在两点不足:一是较大程度依赖历史经验和实验数据,难以形成支持正向设计的方法体系;二是大量过程性微尺度信息经随机数据的统计平均而遗失,未在本质上反映疲劳失效的物理机制,很难获得精确的分析结果。

事实上,疲劳失效通常是由大量微损伤的累积并通过从微观到宏观的跨尺度串行发展而诱发灾变的过程[4-6],在宏观、细观、微观等不同尺度上,损伤演化方程中随机变量群之间的物理机制和数学关系不同。疲劳损伤演化(尤其是低应力高周疲劳)在微细观尺度的驻留时间通常占据全寿命期的较大比例,在单一的宏观尺度上分析结构疲劳裂纹的形核寿命、微裂纹扩展寿命将导致较大误差。

总之,关于结构疲劳寿命分析与风险预测,目前尚无独立于经验之外的统计分析方法,需在细观尺度上建立体现疲劳失效过程机理的概率模型。本文将细观尺度上的各向异性系数、晶粒尺寸、晶粒取向引入结构疲劳寿命分析,基于Tanaka-Mura微裂纹形核机制[7],运用多晶体连续分布位错理论和金相体视学原理[8],建立单轴载荷下无织构多晶体金属表面疲劳裂纹形核寿命的细观概率模型,为结构疲劳可靠性分析提供精细化方法。

1　Tanaka-Mura模型

工程实践与理论研究表明,由于结构表面质量、应力状态、周边约束等原因,大多数疲劳裂纹萌生于结构表面。表面裂纹形核取决于外加载荷和材料内在的微结构,可能出现在晶粒内部或晶界上,也可能出现在杂质、孔洞等缺陷处。对于常见的中、低强度合金材料,裂纹通常形核于持久滑移带。

Tanaka等[7]基于连续分布位错力学提出表面疲劳微裂纹沿晶内滑移带形核的理论模型。该模型基于各向同性位错力学,在“循环载荷下位错滑移不可逆”的合理假设下,定量分析循环载荷下晶界处位错积塞产生的畸变能,得出畸变能达到临界值萌生表面疲劳微裂纹的载荷循环数:

式中:N为疲劳裂纹形核并达到晶粒尺寸所历经的载荷循环数(形核寿命);G为材料剪切模量;W为比断裂能;υ为泊松比;D为晶粒尺寸;Δτ为分解切应力变程;K为启动位错所需克服的摩擦阻力。该模型经不断延拓后,可用于描述形核于孔洞边缘的微裂纹扩展[9]。

文献[10]基于单轴拉压加载下单晶体模型,通过取向因子M建立了单轴名义应力变程Δσ与分解切应力变程Δτ之间的关系:

文献[11]根据Von Mises屈服准则给出:

式中:Δσvm为Von Mises应力变程。该式暗含了位错滑移面在等倾面(111)上,而滑移方向在八面体剪应力方向上的假设,其实质是近似考虑了多晶体取向的统计平均。

Tanaka-Mura形核模型中,剪切模量G、比断裂能Ws、泊松比υ、摩擦阻力K从材料实验中测取,可近似设定为确定性变量或材质常数。而晶粒尺寸D、分解切应力变程Δτ是与材料微结构密切相关的细观随机变量,直接影响裂纹形核寿命的概率分布。在材质常数基本不变的情况下,可通过适当的热处理方法和制备工艺获取预期的多晶体微结构参数,从而在既定工况下得到有利于疲劳延寿的D和Δτ.然而,(2)式中取向因子M的概率分布目前主要来自实验数据,未能建立应力变程Δσ与Δτ之间的内在解析关系;而由(3)式计算Δτ时,对多晶体取向进行了近似的统计平均而遗失细观随机信息,计算过程退化为确定性变量分析。

总之,Tanaka-Mura形核模型描述了裂纹形核寿命与材料物理参数、晶粒尺寸、分解切应力的关系,虽然已引入细观参数,但未能体现细观各向异性导致的应力分布不均匀,未能建立裂纹形核寿命与材料微结构随机变量之间的联系,需拓展和完善。

2　宏细观尺度坐标系

如图1所示:对于多晶体金属件,在宏观坐标系OXYZ下定义代表性体积单元(RVE),用来描述薄弱区域(热区)的几何特征和载荷分布,记RVE的边界应力场为Σ;在细观坐标系oχ1χ2χ3下定义各晶粒,用来刻画多晶体取向,记晶粒的局部应力场为σ;在位错坐标系odnbk中定义位错滑移系,用来描述晶粒中的位错滑移方向。其中,n表示晶粒塑性滑移面π的单位法矢,b表示π上滑移方向的单位切矢。记b向分解切应力为τ,该应力驱动晶粒内产生位错积塞并促使裂纹形核。由于材料内晶粒的取向各不相同,导致结构热区各晶粒的分解切应力因位错滑移面法矢n和位错滑移方向切矢b的不确定性而呈现随机分散性。

图1　多晶体RVE宏细观坐标系Fig.1 Coordinate system of polycrystalline RVE on macro-meso-scale

设细观坐标轴oχ1、oχ2、oχ3与宏观坐标轴OX、OY、OZ之间夹角的方向余弦为(li, mi, ni),li= cos(χi, X), mi= cos(χi, Y),ni= cos(χi, Z),i =1, 2, 3,则两坐标系之间的变换式为

若采用欧拉空间的3个区间角(极角θ、方位角ψ和旋转角φ)描述宏观坐标系和细观坐标系之间的联系(见图2),有

3　细观变量概率分析

3.1晶粒取向欧拉角

选择恰当的加工成形、热处理、表面改性等工艺参数可以实现各晶粒取向的定向汇聚,多晶体内会出现不同程度的织构现象。对于无织构的多晶体,位错滑移面法矢n在单位球面上呈均匀分布(见图2)。以下分析无织构多晶体中晶粒取向欧拉角θ、ψ和φ的概率分布。

图2　晶粒取向随机性分析Fig.2 Stochastic analysis of crystal orientation

分析图2可知,随机方位角ψ在(0, 2π]内呈均匀分布,其概率密度函数为

随机极角θ取值为[θ,θ+ dθ)的概率等于单位球面上阴影面积ΔB与2B的比,即

从而得θ的概率密度函数为

随机旋转角φ在(0, 2π]内呈均匀分布,故概率密度函数为

3.2晶粒各向异性弹性模量

以正交各向异性的立方晶为研究对象。立方晶在材料主轴方向的弹性特性分别相等,具有3个独立的弹性常数,这3个常数可由材料主轴方向的弹性模量E1、泊松比υ12和剪切模量G12组成。在细观坐标系中,晶粒的柔度矩阵为

通过如下变换[12]可获得宏观坐标系下晶粒的柔度矩阵:

由(10)式得具有任意取向欧拉角的晶粒在应力轴X方向的弹性模量:

由(11)式可知,E1(即E(100))最小,而E(111)最大。一般情况下,应力轴方向的弹性模量EX是介于E(100)和E(111)之间的随机变量。

可见,在确定的宏观应力场作用下,多晶体的细观应力场往往呈分散性。引起分散性的原因很多,其中最主要的原因是晶粒取向各异,应力轴上的弹性常数各异,从而导致细观响应不一致。

3.3晶粒尺寸

利用电子背散射衍射(EBSD)技术,可快捷地测定单位空间内的晶粒数量,由此计算出晶粒的平均半径μR.晶粒在三维空间中的半径分布函数可通过扫描电镜(SEM)及其辅助分析软件获取的金属切片二维细观图像信息反求。

根据体视金相学原理,随机截面切割多晶体时在截面上的晶粒断面尺寸分布将受如下3个因素的影响:1)三维空间中晶粒半径的分布;2)随机截面截过各种半径晶粒的概率;3)同一半径晶粒被截面截出的断面圆半径的分布。由此可导出晶粒半径分布函数fR(R)与任意截面上断面圆半径分布函数fr(r)之间的关系[8]:

当晶粒直径D服从正态分布时,运用EBSD分析技术计算晶粒平均直径μD后,可由断面圆直径均值μd近似求得晶粒直径的标准差[8]:

3.4晶粒局部拉应力

大量实验和数值模拟表明:分布在表面裂纹形核晶粒(约称中心晶粒)周边直接紧邻的晶粒群对中心晶粒局部应力场分散性的影响最大,外围晶粒群对中心晶粒局部应力场的影响随远离层数的增大而迅速减弱[13-14]。为考察周边晶粒群取向分散性对中心晶粒局部拉应力的影响,借鉴元胞自动机Moore模型提出一种简化方法。在单轴应力Σ(不失一般性,设为X向)作用下,仅考虑与中心晶粒紧邻的8个表面晶粒,并假设晶粒呈等尺寸的正方体形状,则零件的Moore体元如图3所示。图3中,E0表示中心晶粒X向弹性模量,Ea表示中心晶粒非传力路径上紧邻晶粒(左、左上、左下、右、右上、右下晶粒)X向弹性模量,Eb表示中心晶粒传力路径上紧邻晶粒(上、下晶粒)X向弹性模量。各弹性模量由(11)式求得,均与晶粒取向欧拉角有关。

借鉴复合材料力学的Chamis模型[12],将Moore体元的中间层(传力路径)看作串联承载,再与左右两层(非传力路径)并联承载,进而得到Moore体元中心单元(裂纹形核晶粒)的X向应力。

图3　多晶体RVE的Moore体元Fig.3 Moore voxel of polycrystalline RVE

根据并联承载的基本假设,中间单元(由中心晶粒和上下紧邻晶粒区串联而成)与左右紧邻单元以及整个代表性体元在应力轴方向的应变相等,即

式中:σS为中间串联单元的X向应力;ES、EV分别为中间串联单元和代表性体元的X向弹性模量。

根据串联承载的基本假设,中心晶粒和上下紧邻晶粒区在应力轴方向的应力相等,即

式中:σ0表示中心晶粒在应力轴方向的应力。

ES、EV分别由串联、并联承载的等应力、等应变假设求得

式中:V表示中心晶粒单元的当量体积比。

考虑按照中心晶粒尺寸向四周等距扩展以确定紧邻影响区域,故取V =

,代入(17)式和(18)式,由(16)式得

分析(19)式可知:对于确定的E0,Eb取最大值而Ea取最小值时,σ0最大;Ea取最大值而Eb取最小值时,σ0最小。中心晶粒的最大、最小拉应力分别为

基于Voronoi算法的细观有限元仿真表明,无织构多晶体中随机变量σ0服从正态分布[10]。根据6σ原则可得该分布的均值和标准差:

3.5晶粒分解切应力

分解切应力τ是晶粒细观应力在晶格滑移面上沿滑移方向的投影,是Tanaka-Mura模型的主要控制变量。当形核晶粒的局部应力场σ确定时,τ完全取决于材料的细观几何变量,与滑移面单位法矢n和滑移方向单位切矢b有关,不难导出

对于宏观X向单轴加载(见图1),表面晶粒的近场应力可近似为单轴应力,上式简化为

式中:晶体单轴应力σ0近似地表征了零件在单向宏观应力作用下的细观响应,可通过(19)式求得,分散特性由(22)式和(23)式确定。nX、bX分别表示滑移面法矢、滑移方向切矢相对于应力轴X夹角的方向余弦。

将|nXbX|定义为Schmidt因子s,即

在细观坐标系中,主应力轴的单位方向矢量由(4)式求得

作为常见而典型的金属晶体结构,体心立方晶(BCC)的位错滑移系有(110)[111]、(110)[111]、(110) [111]、(110) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(011) [111]、(011)[111]、(011)[111]、(011)[111]等12个,面心立方晶(FCC)的位错滑移系有(111) [110]、(111)[011]、(111) [101]、(111) [110]、(111)[011]、(111) [101]、(111) [110]、(111) [101]、(111) [011]、(111) [110]、(111) [101]、(111) [011]等12个。其中,(·)和[·]分别表示细观坐标系中的滑移面法矢nk(n1k,n2k,n3k)和滑移方向切矢bk(b1k,b2k,b3k),k为滑移系序号。具体空间位向如图4所示。

图4　典型立方晶位错滑移系的空间位向Fig.4 Orientations of dislocation slip system of typical cubic crystals

对两类立方晶位错滑移系进行重新排序并忽略滑移方向的正反差异(与Schmidt因子计算无关) 后,列入表1.由表1不难发现:BCC的nk等于FCC 的bk,BCC的bk等于FCC的nk,k =1, 2,…, 12.

根据Schmidt因子的定义,有

式中:βkij表示第k个滑移系的Schmidt因子系数,i, j = 1, 2, 3,即

在βkij的表达式中,nk和bk具有轮换对称性,并考虑到表1中BCC的nk等于FCC的bk、BCC的bk等于FCC的nk,所以按照表1的滑移系排序,两类立方晶具有相同的Schmidt因子系数βkij,从而具有相同的Schmidt因子sk,计算结果如表2所示。

表1　BCC、FCC位错滑移系Tab.1 Dislocation slip system of BCC and FCC

表2　BCC、FCC位错滑移系Schmidt因子系数Tab.2 Schmidt factors of dislocation slip system of BCC and FCC

Schmidt因子定义(27)式中含有描述宏细观坐标系相对位置的随机参数ll、l2和l3, (5)式建立了ll、l2、l3与随机欧拉角θ、ψ、φ之间的关系。所以Schmidt因子不是确定性变量,其分散特征取决于细观随机欧拉角θ、ψ和φ的概率分布。综上所述, BCC和FCC的Schmidt因子具有相同的概率分布。对于无织构多晶体,由(5)式～(8)式和(27)式,经统计模拟,得晶粒任意滑移系Schmidt因子sk和优先开启滑移系Schmidt因子S(即12个滑移系Schmidt因子中最大值)的概率密度函数,如图5所示。

图5　无织构多晶体Schmidt因子概率密度Fig.5 Schmidt factor probability density function of untextured polycrystal

图5表明:sk的分布密度呈左高右低的平缓坡形,近似均匀分布;S的分布密度呈左低右高的陡峭坡形,显著左偏。若影响材料疲劳寿命的其他随机变量服从偏度不大的概率分布,则根据S与疲劳寿命之间的定性关系,S的左偏形态势必导致疲劳寿命的右偏征貌,这是多数材料疲劳寿命服从对数正态分布(偏度系数大于0而呈右偏)的主要原因之一。

4　细观Tanaka-Mura概率模型

4.1单晶粒裂纹形核寿命

工程实践和理论分析表明,任一晶粒中疲劳裂纹形核寿命N可描述为对数正态随机变量,其概率密度函数为

式中:μL、σL分别为晶粒对数形核寿命L的均值和标准差。

对(1)式所示的Tanaka-Mura形核寿命公式取对数,得任一晶粒中裂纹形核的对数寿命为

式中:A = ln(8GWs)-ln(π(1-υ)),对于无织构多晶体可近似为材料常数。

根据单晶弹性矩阵元素c11、c12和c44,有E1=,υ12=,G12= c44.代入(9)式得晶粒柔度矩阵Sm,再联合运用(6)式、(7)式、(8)式及(10)式,求出多晶体宏观参数υ和G:

经数值验算,(30)式、(31)式与现有的Voigt模型、Reuss模型分析结果非常吻合[15],该方法从统计力学角度为立方晶材料弹性常数计算开辟了新途径。

疲劳寿命N服从对数正态分布时,对数寿命lnN服从正态分布,其统计参数主要取决于晶粒尺寸D和分解切应力变程Δτ的分散特性。

在单轴加载下,(25)式建立了表面晶粒的近场单轴应力与分解切应力的近似关系,引入优先开启滑移系Schmidt因子S,可建立裂纹形核晶粒的近场单轴应力变程Δσ0与分解切应力变程Δτ的关系:

式中:S、Δσ0的取值均与欧拉角相关。若欧拉角为(θ,ψ,φ),则由(5)式、(27)式得

Δσ0为随机变量,因此Δτ亦为随机变量,其均值和标准差分别为

运用矩法对随机变量统计参数进行综合,得(29)式中ln(Δτ-2K)的均值和标准差:

进一步由(29)式、(36)式、(37)式得对数寿命的均值和标准差:

至此,(28)式描述的裂纹形核寿命N的概率密度函数中,所有统计参数均已确定。

4.2多晶粒裂纹形核寿命

通常,零件(或结构)的热区包含多个随机晶粒(RVE晶粒群)。在疲劳裂纹萌生初期,微裂纹在RVE各表面晶粒中独立形核[16-17]。设RVE中裂纹形核表面的晶粒数等于m,记首条裂纹形核寿命为N(1|m),则N(1|m)应等于最薄弱表面晶粒中的裂纹形核寿命,可运用最小次序统计量模型[18]获得其概率密度函数:

式中:FN(·)表示任一晶粒中裂纹形核寿命的概率累积函数。

首条裂纹形核后,在裂纹萌生的较长阶段中,多条裂纹将在不同晶粒中陆续形核,微裂纹数量不断增加。在微裂纹形核密度达一定阈值之前,裂纹群演化不会呈现明显的连接、分叉、湮灭等复杂行为,各裂纹可视为独立形核。设微裂纹数量等于k,记零件RVE中出现k条微裂纹的寿命为N(k|m),则N(k|m)应等于热区m个表面晶粒中第k个次薄弱晶粒的裂纹形核寿命,可运用第k次薄弱次序统计量模型[18]获得其概率密度函数:

综上所述,多晶体裂纹形核寿命概率分析的主要流程如图6所示。

图6　分析流程图Fig.6 Flowchart of analytical procedure

5　算例分析

根据文献[19]提供的数据,对S960QL马氏体钢试样(见图7)进行裂纹形核寿命分析。

已知疲劳试样尺寸为200 mm×100 mm×5 mm,中心为φ40 mm圆孔;材料无织构,宏观结构呈各向同性,而立方晶具有正交各向异性,屈服强度为1 026 MPa,抗拉强度为1 064 MPa;单晶弹性矩阵元素为c11=233 GPa、c12=135 GPa、c44=118 GPa;材料比断裂能W = 2.0 kJ/ m2,位错摩擦阻力K = 108 MPa;纵向循环加载,应力比为0.1;试样热区RVE在中心圆孔左右两侧,约包含100个表面晶粒,晶粒尺寸服从均值为0.02 mm、标准差为0.002 mm的正态分布。

图7　含圆孔疲劳试样Fig.7 Fatigue specimen with center hole

当热区细观RVE边界应力峰值Σ为600 MPa 时,边界应力变程ΔΣ为540 MPa.运用本文所提模型与方法,分析计算得到试件热区晶粒群任一晶粒中萌生疲劳裂纹的寿命概率密度函数(见图8),相应的对数寿命服从均值为9.499 5、标准差为0.865 7的正态分布。

图8　任一晶粒中裂纹形核寿命概率密度Fig.8 Probability density of crack nucleation life of single grain

进一步分析计算得到100个热区晶粒中首条裂纹形核寿命(k =1)、前3条裂纹分散形核寿命(k = 3)以及前6条裂纹分散形核寿命(k = 6)的概率密度函数,如图9所示。文献[19]的疲劳试验及细观有限元模拟表明加载3 700周次时试件表面出现6条晶体尺度分散微裂纹,与本文计算结果非常吻合。

图9　多晶粒裂纹形核寿命概率密度Fig.9 Probability density of crack nucleation life of grain group

综合分析图8和图9可知:单个晶粒中裂纹形核寿命较长,而随热区晶粒数量增多,由于薄弱细节增多(尺寸效应),导致裂纹形核寿命迅速减短;在裂纹萌生初期,多条裂纹在不同晶粒中依次分散形核,裂纹数越多,寿命越长,涉及的随机因素越多,寿命分散性越大,寿命分布的正偏性越弱。

6　结论

1)针对Tanaka-Mura疲劳裂纹形核机制涉及的主要细观尺度变量,导出晶粒取向欧拉角、Schmidt因子、晶粒尺寸、分解切应力变程等变量的概率密度函数。其中,晶粒尺寸和分解切应力变程的随机性是导致疲劳裂纹形核寿命呈分散特征的直接诱因,优先开启位错滑移系Schmidt因子概率分布的左偏形态是疲劳裂纹形核寿命服从或近似服从对数正态分布的主要原因之一。

2)根据无织构多晶体的单晶弹性常数精确求解多晶体宏观参数,从统计力学角度为立方晶材料弹性常数计算开辟了新途径;运用矩法和次序统计量模型由Tanaka-Mura寿命公式获得任一晶粒中疲劳裂纹形核寿命和结构热区晶粒群多裂纹分散形核寿命的概率分布,基于细观尺度建立了裂纹形核寿命的非经验概率模型,为后继微裂纹联合演化统计分析奠定了理论基础。

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Meso-scale Probabilistic Model of Fatigue Crack Nucleation Life

ZHOU Jin-yu1, XIE Li-yang2, ZHU Fu-xian1, HAN Wen-qin1
(1.Changzhou Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture, Jiangsu University of Technology, Changzhou 213001, Jiangsu, China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110004, Liaoning, China)

Abstract:Crack nucleation is an initial stage of damage evolution for high cycle fatigue of metallic material.Based on the Tanaka-Mura crack nucleation mechanism, a meso-scale probabilistic model is proposed for the analysis of surface crack nucleation life under constant amplitude loading.Let the grain size and Euler angle of crystal orientation be random variables, and the relationship between meso-scale principal stress and resolved shear stress is established by means of the Schmidt factor in the most possible sliding direction.The distribution function of resolved shear stress range is derived in consideration of grain orientation randomness and influence factors of nearest-neighbor grains.Furthermore, the probability density functions of crack nucleation lifes in any grain and grain group at the hotspot are derived by means of the moment method and order statistics models.A numerical example is given to show the feasibility and rationality of the proposed model and approach.The proposed model introduces probability statistic information of physical and geometrical variables on meso-scale, which can give a new path for probabilistic fatigue life assessment and anti-fatigue probabilistic design of polycrystalline metals structures.

Key words:solid mechanics; fatigue; crack nucleation life; meso-scale;probability analysis

作者简介:周金宇(1973—),男,教授,硕士生导师。E-mail: yuhangyuan888@ sina.com

基金项目:国家自然科学基金项目(51275221);江苏省产学研联合创新资金项目(BY2014038-04)

收稿日期:2015-07-09

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.017

中图分类号:TH122; TB114.3

文献标志码:A

文章编号:1000-1093(2016)02-0307-10