初中“代数运算”教学的困境与对策——“因式分解”的错因分析与教学思考

（福州第十中学，福建福州350000）

初中“代数运算”教学的困境与对策
——“因式分解”的错因分析与教学思考

伍仕森

（福州第十中学，福建福州350000）

代数运算贯穿于整个初中代数的学习，而代数运算的能力是运算技能的升华，也是运算技能与逻辑思维能力的有机结合。因式分解是整式乘法的逆运算，是后续代数运算的工具，具有承上启下的地位和特殊的作用，相关教学具备课堂实证研究的价值。本文通过因式分解的错例分析，反观课堂教学的得失并展开教学思考，分别从概念教学、公式教学和解题教学三个方面提出了应对措施与教学主张。

代数运算；因式分解；错例分析；教学思考

一、问题提出

初中代数运算主要包括整式、分式、根式这三大类的代数式的加、减、乘、除以及乘方、开方运算，其本质是恒等变形。从式的存在形式演变为与之相等的另一种存在形式，这种恒等变形的运算能力并非是一种外在的字母游戏，而是数学学习的素养和研究数学的有力工具，对于数感与符号意识的形成具有重要的作用，是初中代数知识主干内容和教学关键点。

基于此，我们以参加2014年市级教育课题为契机，选择“代数运算”教学模式的探索作为子课题，展开相关的理论与实践相结合的教学研究与案例分析，并以“因式分解”的错因分析为着力点，以点带面地展开“代数运算”教与学的理性思考与教学反思，以期帮助学生突破代数运算的诸多困境，为学生的幸福成长发挥数学学习的育人价值。

二、案例呈现与教学思考

因式分解是整式的一种恒等变形，是把多项式变换成为整式乘积的形式，是学习分式运算的直接基础，对后续研究整式方程是一种重要的理论依据和求解的有效方法。但是这并不意味着这样的训练越多越好，越难越好，甚至搞题海战术让教与学都背上沉重的负担，而是要明确目的，适度训练，在解题过程的反思中，在析错、纠错的领悟中，完善因式分解的认知结构，提升因式分解的运算能力。

1.对因式分解的概念认识不足导致的错误

【案例1】循环计算，如（x+4）2+(x+4)×(-8)=(x+4) (x+4-8)=(x+4)(x-4)=x2-16。究其原因：对因式分解的意义认识不清，受整式乘法思维定势的影响，部分学生在因式分解后很自然的回弹到整式乘法，出现了这种循环计算。

【案例2】部分分解，如x2-9+8x=(x+3)(x-3)+8x。究其原因：造成这种错误的原因是对因式分解的概念没有理解到位，如“(x+3)(x-3)+8x”虽然对局部进行了分解，但结果仍然是和的形式。

【案例3】漏项，如x2y-2xy2+xy=(x-2y)。究其原因：提公因式后漏掉了“xy÷xy=1”这一项，其根源还是对整式乘法与因式分解互为逆运算认识不足，当多项式的某一项恰好是多项式的公因式时，提取公因式后，往往漏掉了“1”这一项。

纵观以上3个案例，发生错解的原因是学生对因式分解的意义以及与整式乘法的区别与联系认识不清，概念的模糊才导致的错误。由于因式分解的概念比较抽象，加上受整式乘法的习惯思维的影响，初学时普遍存在这些现象，这就要求我们要加强概念教学。引入概念的教学设计应从学生的思维训练角度考虑，也就是要理解学生的认知基础，关注学生对概念的形成过程，并且这一概念的形成需要贯穿在因式分解的整个教学过程中。不仅如此，还应该在后续的相关知识的学习过程中进一步的深化。让学生对因式分解概念有一个逐步理解，不断再认识的过程。基于此，我们在教学实践中对因式分解的概念的形成与深化分为了四个阶段来进行。

第一阶段为概念引入和初步认识阶段。我们可用小学的分解质因数的知识，如30=5×2×3来进行类比，引出多项式的因式分解。但应注意到这种引出只是强调因式分解与因数分解的联系，并没有揭示因式分解的本质，所以这一阶段的学习应着重强调因式分解与多项式乘法之间的互逆关系。从逆向思维的角度来完成对因式分解的初步认识，促使学生明确因式分解的结果必须是整式的积的形式。

第二阶段为概念的应用于巩固阶段。无论是提取公因式法还是公式法，在讲解时，都要与相对应整式乘法做比较，深化因式分解是多项式的乘法逆过程的意识，提升思维能力，形成良好的思维品质。在此基础上重点强调因式分解后每一个因式都不能再分解，要把重因式写成乘方的形式，并及时纠正可能出现的错误，巩固第一阶段的教学成果。

第三阶段为总结提高阶段。在学完了因式分解的基本方法后，应总结因式分解的基本步骤，其中也包括对概念的总结提高，对解题经验教训的总结与反思。在本章讲完时，对因式分解的概念已经达到理解的程度。

第四阶段为深化阶段。这一阶段一直贯穿于后续知识的学习过程中，在学习分式时，通分、约分以及分式的运算都离不开因式分解。让学生在后续的学习中体会到因式分解的意义与作用，明确“逆过程”的真实含义，而在分式的相应变形中，还应该强调因式分解的意义，提醒学生因式分解是对多项式而言的。

2.公式应用不当导致的错误

【案例4】没有弄清楚运用公式的条件，如9x2-4y2=(9x+4y)(9x-4y)。究其原因：只注意到字母的平方，没有考虑到系数的开方，对公式的结构特征，公式中字母所表示的含义不明确。

【案例5】错用公式，如-x2-y2=(-x+y)(-x-y)。究其原因：在套平方差公式时，没有弄清楚只有当两平方项的符号相反时，才可以使用平方差公式，而“-x2”与“-y2”符号相同，不能硬套公式。透过案例4、案例5的观察，引发我们对公式教学的再思考，学习公式的目的在于运用，并逐步形成技能或能力，如何帮助学生达到熟练应用公式的程度，是突破代数运算困境的关键。为此我们加强了公式的引入和记忆两方面的教学。一般地，公式的引入可以分为三个阶段：公式的形成阶段、公式的理解记忆阶段、公式的运用阶段。前两个阶段是为后一个阶段服务的，尤其是公式的形成阶段，它直接影响到公式的记忆与运用。首先，我们加强乘法公式的几何意义的教学，并自编口诀，力求通过公式的多元表征和结构分析来完善学生的认知结构，从根基处入手为记忆和运用公式打下牢固的基础。如：(a+b)(a-b)=a2-b2“两数和两数差，乘积就是平方差”；(a±b)2=a2±2ab+b2“完全平方公式好，展开整理得三项，首平方尾平方，2倍首尾放中央，积前符号同前号”。其次，针对因式分解的两个公式实际上是相应乘法公式的反写，每个公式都有双向的功能，从左到右是顺用公式，从右到左是逆用公式。因为公式的推导一般是从左往右，这种思维定势使得学生习惯于公式的顺用，当解题过程要顺用公式时比较顺利，当解题需要逆用公式时，学生常常感到困难。在此，如果我们强调因式分解的本质是“化积”的话，就可以从本质上区别因式分解与整式乘法的不同，无疑对记忆和使用公式都具有重要的作用。再次，通过反例纠正达到强化记忆的目的。将学生可能发生的错误或作业与练习当中的错解一一罗列出来，呈现给学生以引起必要的重视，防止再犯类似错误。

3.会而不对，对而不全导致的错误

【案例6】分解不彻底，如x4-16=(x2+4)(x2-4)。究其原因：这样的错误原因是分解不彻底。正如把30分解质因数为30=5×6其中6还可以分解成2×3。

【案例7】不先提公因式而先用公式法，如16x2-4=(4x+2)(4x-2)。究其原因：没有根据因式分解的步骤直接使用公式进行分解，导致两个乘积式没有分解彻底。

案例6、案例7中的会而不对，对而不全，看似解题粗心或概念不清晰，或忘记因式分解的解题步骤“一提二套三检查”，而更深层次的原因是解题习惯不良，解题观念缺失。学生在解题的过程中往往急于求成，急功近利，缺乏对解题过程的反思，自我监控的元认知能力低下。这跟一线教师在解题教学中只重视“怎么做”，很少挖掘或忽视“为什么这样做”的解题分析，有一定的关系，甚至是题海战术带来的“熟能生笨”“熟能生厌”的负面作用。这些不利因素加重了代数运算乃至代数学习的困难。所以，我们主张代数运算的教学要在算理、算法的选择上下足功夫。

章建跃教授曾指出，造成代数学习的困难的原因有以下几个方面：（1）学生思维发展水平的原因；（2）自然语言、数学语言的理解能力及转换能力方面的原因；（3）数字运算不过关的原因；（4）数学记忆广度的原因。为了帮助学生克服代数学习的困难，他认为可以采取以下的措施：（1）加强中小学数学的衔接；（2）重视不同语言的相互转换的训练；（3）养成代数学习的良好习惯。

［1］义务教育数学课标修订组.义务教育数学课程标准（2011版）的解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］鲍建生，周超.数学学习的心里基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［3］李求来，昌国良.中学数学教学论［M］.长沙：湖南大学出版社，2006.

（责任编辑：王钦敏）