高职院校初等数学三角函数教学对策探究

黄梅花

南通开放大学经济管理学院（南通　226000）

高职院校初等数学三角函数教学对策探究

黄梅花

南通开放大学经济管理学院（南通226000）

高职院校的数学教学与此前的数学学习有诸多重叠，寻找新的视角并进行教学思路的重构，是教学对策研究的重要思路。三角函数是初等函数中的基础性知识，高职院校的教学需要，决定了该知识构建需要从函数视角重新认识三角函数的定义，需要抓住同角三角函数这一核心，以完成对三角函数的整体认知的构建。此过程中，还需要关注数学与专业的需要，以在提升学生数学素养的同时提升专业素养，以充分发挥数学学科的基础性作用。

初等数学；三角函数；教学对策

学生进入高职院校之后，初等数学是基本学习内容之一，其中的三角函数知识作为描述周期性现象的重要模型，一直以来都受到广泛重视。相比较而言，学生在三角函数知识的学习中，无论是最终的学习结果还是此前的学习过程，都会表现出普遍性的学习困难。为了解决这一困难，就必须寻找到有效的教学对策。笔者以为，在寻求教学对策的过程中，要紧紧抓住学生这一关键，要从高职院校学生的角度去确定、评估教学对策的实施。下面笔者提出三点教学对策，并分别举例说明。

1　培元固本：重视三角函数定义

在义务教育阶段，由于应试的需要，在职高阶段由于对包括学科在内的文化学科的相对忽视，使得数学教学出现了一种不良的倾向，那就是对数学概念建构的忽视，其具体表现就是不重视数学概念是如何通过定义来理解的。三角函数本身就是抽象的知识，而根据笔者对进入高职学生的学业调查，发现有近八成的学生对三角函数的定义几乎完全说不出来（与之相对应的是，学生能够举出三角函数的一些简单例子甚至是一些具体的习题），这说明高职之前的数学教育重知识应用而忽视概念建构，笔者以为这是一种本末倒置的行为。同时，这也意味着高职阶段的初等数学教育中，要重新重视三角函数的概念建构与定义过程。

通常情况下，初等函数范畴中的三角函数有多种定义方式。如在直角三角形中，以角度（实用弧度表示）作为自变量，以角度所对应的两条边的比值作为因变量的函数；又如在单位圆中也有类似的定义（事实上三角函数与平面几何知识本身就有着千丝万缕的联系）。这种定义的理解有两种途径：一是基于纯粹数学的途径，即通过数学图形的呈现，然后通过直接的定义来完成对三角函数的理解，这一途径对于数学基础较好的学生来说比较好，相比较而言如果学生的数学基础偏弱，那理解起来就有困难。弧度制下对三角函数的定义实际上与直角坐标系以及单位圆中的定义是相通的，因此本文不赘述，下面的阐述更多的以前者为例。

高职院校的学生的数学基础一般都不太好，因此第二条途径更值得尝试。二是通过具体的生活实例来建构函数概念，例如可以向学生呈现出具体的房梁结构、塔吊结构，通过已知与未知关系的构建，让学生认识到必须在某个直角三角形或单位圆中形成边与边的比例与等量关系，才能完成求解，这个时候学生对三角函数的认识就会有一个实践经验基础，在这个基础上再进行数学抽象，将实物模型抽象成数学模型，然后通过数学定义认识三角函数的概念，就可以让学生在记忆与理解的时候相对难度更小。

同样，在初等函数的范畴中，六种三角函数的理解需要基于分析与综合以形成统一的理解，即在平面直角坐标系当中，确定了角的顶点即坐标系的原点，并以x轴的正半轴作为角的始边，于是看似没有直接关系的六种三角函数就被统一到了平面直角坐标系上了，区别只在于终边所在的区间而已。更重要的是，在这样的统一理解当中，某个区间内的一个角的集合表示、不同象限角的表示等，都会成为学生自然而然地需要面对并解决的问题。从学习心理的角度来看，其实就是不同的知识自然形成了一个知识组块，这是非常有利于学生的记忆与理解的。

2　由点及面：研究同角三角函数

初等三角函数当中，同角三角函数的关系是一个重要知识点，在此前的学习过程中，学生更多的是进行一些基本的记忆与运用，很少基于联系的观点研究同角三角函数。而事实上从联系的观点来研究三角函数的关系，很有利于学生更好地建构对三角函数的整体认知，同时借助于这个知识点，还可以让学生在数学学习当中生成由点及面的学习策略，从而迁移到其它知识的学习当中去。

梳理初等函数范围中的同角三角函数关系，可以发现有这样的三种关系，即平方关系、倒数关系与比例关系。其分别是sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sеc2 α、cotα2+1=csc2α；tanαcotα=1；tanα=sinα/cos α。那么，基于联系观点如何确定这几种关系的点与面呢？笔者以为关键在于教学中两个重心的确定：

一是“点”的确定。同角三角函数关系的构建中，什么是点？笔者以为，这需要从高职学生的学习特点来考虑。高职学院的数学教学定位，应当是让学生在数学学习中生成基本的数学素养，同时为学生的专业素养提升提供知识储备与能力基础。三角函数知识在诸多专业中都有相对广泛的应用，但从不同专业的不同情境中进行提取，即会发现终点仍然落到数学意义的数与形上，因此，学生建构数学意义上的三角函数认识就是这个“点”。同时，同角三角函数本身也是一个相对发散的，也确实需要一个点以带动知识本身这个面。研究可知，同角三角函数建立点的认知，可以在上面提到的平面直角坐标系的基础之上，通过对边的关系的梳理与分类，得到同一象限内终边相同的角（集合）、终边关于x、y轴以及关于直线y=x对称的角、终边关于原点对称的角三种情况，这三者可以形成建立三角函数的“点”的认知的三个支点，有此三“足”，三角函数之“鼎”则可立。而此三个支点如果要浓缩成一个认识的话，那就是“某一个角的三角函数值，最终只决定于这个角的终边”。这一点看似抽象，但实际上却是对六种三角函数的高度概括，在此基础上再将思维发散到不同的具体三角函数当中，这便如一颗种子发芽之后生成不同植株一样。

二是“面”的确定。同角三角函数关系的构建中，什么是面？基于上一段的分析，同角三角函数在不同专业视角下的实际应用可以视作面，这个时候就需要建立数学与不同专业之间的联系，事实上对于高职院校的数学教学来说，这也是一种重要的教学策略，让不同专业的实际知识成为该专业学习中的数学知识背景，不仅有利于激发学生的学习兴趣，也有利于学生更有效地构建数学认识。譬如在三角函数教学中可以引入具体的测量实例（测量是诸多专业中都必须培养的技能之一，不同专业有着不同的测量情境，限于篇幅这里不具体举例），职业视角下，测量不是简单的测量工具的运用，更指测量方法的确定，而测量方法往往是需要数学素养作为支撑的。当将某一个测量需要与三角函数建立联系的时候，学生一般会将思路确定在测量本身之上，这对于高职学院的学生来说，既是一种职业直觉，又是一种注意力的转移。对于后者而言，这样的转移极具教学价值，因为当学生将注意力从抽象的数学转移到形象的测量之上时，学生的学习心理会有很大的转变，因为抽象而产生的畏惧性的学习心理，有可能变成积极的解决问题的心态，而在积极解决问题的过程中，三角函数的知识又确实得到了运用，对于三角函数的知识也确实进行了建构，这种隐性的建构往往对于学生的数学素养提升来说，更具意义，也更符合高职院校数学教育基础性作用的发挥。高职院校学生数学的学习，是基于专业背景进行的数学知识的运用，恰恰是符合这一思路的。需要指出的是，这三个支点的形成以及以之为“点”向“面”扩散，可以引导学生自己去形成认识，也就是说通过学生的自主学习过程来完成对点和面的认识，是必要的教学策略

3　数学思维：建构三角函数认知

初等函数作为高职数学教学的一个基本内容，其教学目标除了以之为基础提升学生的数学素养与职业素养之外，就数学知识构建本身而言，三角函数本身作为一个认知对象，其实也具有培养学生思维能力的重要价值，而发掘这个价值的过程，也可以视作有效的教学对策。

数学的最高价值就是培养学生缜密的思维，思维能力作为智力的核心，又是高职学校培养学生的重要基础，没有思维能力的支撑，专业技能是不可能有质的提升的，培养高素质的技能性人才也容易成为一句空话。在笔者看来，三角函数在抽象着孕育着形象，而这恰恰又是思维的两个重要维度，如果能够实现形象思维与抽象思维的积极转换，并努力让学生形成有效的直觉思维，那就是对三角函数的有效认知了，学生的思维能力也就真正得到培养了。在利用三角函数实现数学思维的过程中，笔者认为可以关注如下两点：

第一点，三角函数的函数视角。函数是学生接触过六年的知识点，到了高职院校重新建构初等三角函数，关键不在于知识的重现，而在于寻找新的学习视角。函数（function）作为一个基本数学概念，最初由数学家李善兰的著作《代数学》所给出。其解释是，“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。由此可见，函数是描述事物之间的一种规律性关系的，是借助于自变量和因变量来描写这种关系的，从这种规律性的对应关系的角度来理解三角函数，学生会有不同的认识。因为这个阶段的学生对于事物之间的普遍联系已经有了相当程度的认识，而当这种联系变换成数学语言的时候，就吻合了学生内心所用主观世界的语言描述客观世界的需要。因此实际教学中，在呈现单位圆之前，可以给出一个具体实例，譬如一个城市中以市中心为圆心，描述不同建筑所在的位置，或者描述一辆出租汽车一天的行驶位置。学生自然就会将这个形象的问题抽象成数学图形，进而用角和边的关系去描述相应的位置，这就是形象事物与数学之间的联系，就是函数思想的自然体现。

第二点，三角函数背后的几何直观。初等数学中的三角函数认知，离不开对其背后的几何直观的认识。如果暂不考虑三角函数中“数”的关系，而从“形”的角度来认识，会发现三角函数其实就是一个平面直角坐标系上的单位圆，以及圆的半径与弦的关系。这是一个很好的认知切入点，因为根据笔者的研究发现，高职学院的学生一般来说在数学学习中更擅长形象思维，而几何恰恰是形象思维的良好载体，因此从几何的角度切入三角函数，也是一个很重要的教学策略。而且，教师引导学生进行这样的抽象，可以帮学生搭建对三角函数认识的多重梯度，从而实现该知识的层次性建构。当然，三角函数还隶属于更为广泛的三角学范畴，对于少数优秀的学生而言，教师可以适当渗透，也算是因材施教策略的具体运用。当然需要说明的是，三角函数的图像虽然是以图像的形式存在，却不是几何的产物，需要厘清。

综上所述，所谓教学对策，无非是针对学生的学习需要所采用的教学思路与措施。高职数学教学中，对于隶属初等数学的三角函数的教学，既需要关注学生的已有基础，同时更需要建立新的视角，以实现学生对这一知识的重新构建。只有基于三角函数定义，并抓住同角三角函数这个核心，才能完成学生对三角函数认知的有效构建。

［1］赵韬.三角函数在高职高等数学中的应用［J］.四川职业技术学院学报，2011，21（2）：108-110.

［2］周益峰.高职电子专业学生三角函数学习困难的研究［D］.苏州大学，2011.

（责任编辑：兴安）

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.03.0050