Vandermonde行列式应用初探

倪 飞，廖玉怀

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

Vandermonde行列式应用初探

倪 飞，廖玉怀

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

探讨Vandermonde行列式在多项式理论、特殊行列式计算、个别特殊矩阵、导数理论、常微分方程理论中的简单应用,同时将用构造性的思维方法，对一些复杂抽象的行列式计算问题，运用Vandermonde行列式的性质加以解答事半功倍。

Vandermonde；行列式；多项式；微分方程

1 引言

Vandermonde行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式和简明的结果，因此Vandermonde行列式不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时在各个领域中也有着广泛的应用，比如:在进行行列式计算和变换时，将问题适当的变形为可套用Vandermonde行列式解答的形式，可起到简化解题过程减少计算量的效果。

定义1.1[1]行列式

称行列式（1）为Vandermonde行列式。

2 Vandermonde行列式的简单应用

2.1 初等变换下的应用

在行列式计算过程中，有些较难运用行列式性质解答的行列式，可以利用各种方法将其转化成Vandermonde行列式，运用以上结果（1）进行解答。

例1[2]计算下列行列式

分析 容易观察得出1, 3, …, 2n-1列和第2, 4,…, 2n行交叉处构成的是Vandermonde行列式。同理2, 4, …, 2n列和第1, 3, …, 2n-1行交叉处同样构成Vandermonde行列式。

2.2 判断多项式整除关系上的应用

Vandermonde行列式在求解多项式根，多项式可约类问题都有一定的应用。

例2 设(xn+ xn-1+…+ x+1) | [ f1(xn+1)+xf2(xn+1)+…+ xn-1fn(xn+1)]，证明：(x-1)| fi(x), i=1, 2, 3, …, n。

分析 此题涉及证明多项式整除关系，同时给出了xn+ xn-1+…+ x+1，很容易联想到与多项式xn+1-1的n个非1单位根建立联系，若能推导得出fi(1)=0 (i=1, 2, …, n)即可证明结论。

2.3 与循环行列式计算建立的联系

Vandermonde行列式也可以和一类特殊的行列（循环行列式）式建立联系。

定义1 令a1, a2, a3,…, an是任意复数，称行列式

为循环行列式。

对定义1进行求解，很容易想到行列式计算中的初等变换，将行列式所有行加到最左边，但是接下来将无从下手，于是另寻他法。易想到可以运用一元n-1次多项式函数辅助求解。于是将此循环行列式的问题转换成一元n-1次多项式函数与Vandermonde行列式的综合求解问题。对定义1中行列式Dn的求解如下:

2.4 与Laplace定理综合应用解题

对于有些行列式的求解并不是通过初等变换就能进行解决的，其行列式往往会呈现出一些规律，需要运用所学的定理或概念就可以转换为我们熟悉的问题，进行求解。

定理1[1]（Laplace定理）设在行列式D中任意取定了k (1≤k≤n-1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

例3[1，3]求下列行列式的值。

分析 此行列式与Vandermonde行列式有所区别，其区别仅在于Vandermonde行列式最后一行的元素次数为n-1次，而本题中为n次，于是运用加边的方法就可将其化为n+1阶Vandermonde行列式求解。

2.5 在数学分析解题中的应用

数学分析，主要是微积分贯穿始终，在求解关于导数的一些证明问题可以构造Vandermonde行列式进行解决。

例4[4]设g(x)在[a, b]内存在n-1阶导数，a=x1＜ x2＜…xn=b，证明c∈(a, b)，使得。

分析 观察以上导数的证明可知，可以通过已知条件中的a=x1＜ x2＜…xn=b,想到运用微分中值定理进行思考，通过g(x)在[a, b]内存在n-1阶导数可联想到一个n-1次函数在行列式中，用行列式求导法则计算过后可使得行列式值为0，于是可通过以上区间各分段点，进行构造行列式解决此题。

2.6 在一类常系数四阶线性微分方程中的应用举例

在微分方程理论中，求解常系数非齐次方程关键是要求出其一个特解，普遍运用常数变易法和部分积分法，然而求解过程中为了计算方便运用Vandermonde辅助解答。

定理2[5]形如y(4)+ py" + qy = f(x)的四阶非齐次微分方程，其对应的齐次微分方程为：

例5 求方程组y(4)-8y" + 16y = x。

3 结束语

通过对Vandermonde行列式的简单应用发展概况及Vandermonde行列式的定义的了解，从而引发了思考（是否也应用广泛?），对其在行列式求解、多项式有关的证明、实际问题转化为代数问题（插值）、导数理论中的证明、常微分方程理论中的具体应用，而在求解一些规律性行列式的求解过程中应用更为广泛，这大大的减少了代数理论中计算和证明的复杂问题。同时也对可以运用Vandermonde行列式进行行列式计算的几类行列式进行了归纳，给出了其一般形式。这简化了解题时的一些抽象构造与繁琐步骤。从而加深对Vandermonde行列式的理解与掌握，同时对行列式理论的学习与不同数学学科之间的联系建立了桥梁，为今后的学习打下坚实的基础。

[1] 北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：79-83，89-93，102.

[2] 许甫华，张贤科.高等代数解题方法[M].北京：清华大学出版社，2002.1：48-49.

[3] 严谦泰，王澜峰.高等代数考点综述与问题探讨[M].北京：国防工业出版社，2009.8：47-48.

[4] 王卿文.线性代数核心思想及其应用[M].北京：科学出版社，2012：8-14.

[5] 候宗毅.一类特殊四阶非齐次方程特解的求法[J].中国科教创新导刊，2009，92（2）：1-2.

Applications of Vandermonde Determinant

NI Fei, LIAO Yuhuai
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

This paper mainly discusses the application of vandermonde determinant in polynomial theory, special determinant calculation, and individual special matrix derivative theory, and uses the constructive way of thinking and Vandermonde determinant nature to answer some complex abstract determinant calculation, which has a multiplier effect and improve our ability of understanding abstract mathematical problems.

Vandermonde; determinant; polynomial; differential equation

O151.22

A

1674-9200（2016）06-0111-04

（责任编辑 刘常福）

2016-07-07

倪飞，男，云南永善人，文山学院数学学院2011级数学与应用数学专业学生；廖玉怀，男，云南文山人，文山学院数学学院讲师，该文指导教师，主要从事代数学与数学建模研究。