层状声子晶体横波带隙结构研究

唐启祥，邱学云，胡家光

（文山学院 信息科学学院，文山 云南 663099）

层状声子晶体横波带隙结构研究

唐启祥，邱学云，胡家光

（文山学院 信息科学学院，文山 云南 663099）

对弹性波通过钢、环氧树脂和铝三组元构成的一维层状声子晶体的透射率进行了理论推导；以横波的透射率分布图表征声子晶体的带隙结构；以一定的中心频率换算出来的每个组元的中心波长为相应组元的厚度单位，乘以相同的系数作为实际厚度。分别研究了厚度系数和原胞数对声子晶体带隙结构的影响。结果显示，导带和禁带均匀分布，但宽度一般不等；导带、禁带的中心均随厚度系数增大而向低频段移动，同时，导带和禁带宽度也随之减小；随着原胞数的增加，导带中心、禁带中心及导带宽度及禁带宽度没有发生变化。

声子晶体；横波；带隙结构

1992年，M. M.Sigalas和E. N. Economou 首次从理论上证实了弹性波带隙的存在[1]。1995年，M. S. Kushwaha等人在研究镍/铝二维固体周期复合介质时第一次明确提出了声子晶体的概念[2]。通俗地说来，声子晶体是由密度和弹性常数不同的两种或两种以上的弹性材料在空间周期性排列构成的人造带隙材料。根据弹性材料在空间分布的不同，又可将声子晶体分为一维、二维和三维声子晶体[3]。作为结构简单、容易推广应用的是一维声子晶体。对该类声子晶体的研究已有不少的报道，但是这些研究是以弹性纵波作为入射波，研究声子晶体的带隙结构特征，并且以两种弹性材料即2组元为原胞构成的结构材料为例进行研究的较多[4-8]。还有一部分文献报道的是采用集中质量法对一维杆状声子晶体带隙结构进行的研究[9-11]。本研究采用3种无限大平板弹性材料作为组元，构成一维3组元声子晶体，以横波为入射波，采用平面波法对声子晶体的带隙结构进行研究，寻找声子晶体带隙结构的特征和变化规律。

1 模型和理论

设三种不同密度和弹性常数的无限大平板材料组元A、B和C构成1个原胞“ABC”，多个原胞沿z轴方向依次排列，构成ABCABC…ABC形式的一维3组元声子晶体结构，置于均匀弹性介质E中。让平面弹性波自E垂直于材料A沿z轴方向传播，如图1所示。

图1 一维3组元声子晶体的结构模型

弹性纵波和横波的弹性波，经多个界面反射和透射后，在某个原胞中的某介质组元i（i=A、B、C）中沿z轴正方向和负方向传播的位移分别为。其中，kiL=ω/ciL和kiT=ω/ciT分别为纵波和横波在介质组元i中的波矢，ciL和ciT分别为相应的波速，ω为圆频率。用一个四维向量同时表示上述四个波的位移波矢为

当位移波矢Ui通过一个界面后变成新的位移波矢UJ，Ui与UJ之间的的转换关系为：

式中Mij为从介质i到相邻介质j（j为A、B或C）的转移矩阵，根据胡克定律及弹性波的位移和应力在界面两侧的z分量和x分量的连续条件可得到

λi及μi为拉梅常数。将式中的i换成j即得Mj。

弹性波通过厚度为di的介质i，波矢的相位发生变化，相应的传递矩阵为

弹性波通过置于均匀弹性介质E中具有N个原胞的整个声子晶体的传递矩阵为

W=MEAGAMABGBMBCGC(MCAGAMABGBMBCGC)N-1MCE。

由W的矩阵元求得纵波透射率TL和横波的透射率TT分别为

2 实例计算

纵波在上述一维3组元声子晶体中传播形成的带隙结构已在文献[12]一文中作了详细的研究和报道，这里仅对横波在相同的声子晶体中传播形成的带隙结构进行研究。设材料组元A为钢，B为环氧树脂，C为铝，外界均匀介质E为有机玻璃。有关材料参数见表1。

表1 组元材料参数

选取中心频率f0=1000 Hz，计算不同组元的中心波长λi0（i=A, B, C）；以各组元的波长为长度单位，乘以适当的厚度系数x，设计各自的厚度di=xλi0（i=A、B、C）。首先取原胞数N=4，厚度系数x=0.2为例，通过MATLAB设计程序计算和模拟，得到在可闻声范围内用横波的透射率表征的带隙结构。结构显示，导带（黑色部分）和禁带（白色部分）相间分布，所有导带宽度相等，所有禁带宽度相等，但二者的宽度不等，如图2所示。

图2 一维3组元声子晶体的带隙结构

下面分别改变声子晶体各组元的厚度系数x和原胞数N计算带隙结构变化的规律。

2.1 组元厚度系数对带隙结构的影响

从图2看出，在给定参数下，各个导带和禁带分别有各自相同的宽度，于是，只需对其中一个导带和一个禁带进行研究，即可得到所有导带和禁带的变化规律。

固定原胞数N=4，改变组元厚度系数x，分别考查第1导带的频率中心值f1D0和导带宽度Δf1D、第1禁带频率中心值f1J0和禁带宽度Δf1J的变化规律。

计算模拟后发现，第1导带的频率中心值f1D0和导带宽度Δf1D、第1禁带的频率中心值f1J0和禁带宽度Δf1J随厚度系数x的增加而减小， 如图3所示。

2.2 原胞数对带隙结构的影响

固定组元厚度系数x=0.2，改变原胞数N，分别考查第1导带的频率中心值f1D0和导带宽度Δf1D、第1禁带频率中心值f1J0和禁带宽度Δf1J的变化规律。

计算模拟后发现，第1导带的频率中心值f1D0和导带宽度Δf1D、第1禁带的频率中心值f1J0和禁带宽度Δf1J均几乎不随原胞数N变化，如图4所示。

图3 带隙结构随厚度系数x的变化规律

图4 带隙结构随厚度系数x的变化规律

3 理论分析

不同频率的弹性波，无论是纵波还是横波，通过声子晶体在相邻组元界面上来回反射叠加，当各组元的厚度刚好为波长的整数倍或分数倍时，由该组元引起的相位延迟将会是整数倍数或分数倍的π。根据Bragg散射机理，整数倍中偶数倍的被透射，奇数倍的被反射。选取一定的频率（本研究中取1000Hz）为中心频率，分别计算各组元的中心波长，并以一定的系数乘以各自的中心波长设计各自的厚度。当固定组元厚度而改变入射波的频率后，总会出现某个频段的弹性波满足Bragg原理，以致出现声子晶体的导带和禁带的现象。改变组元厚度系数，也即改变了组元厚度，产生的相位延迟不一样，无论导带还是禁带的中心和宽度均要发生相应的变化，正如图3所示结果。对于增加原胞数，物理作用的实质是增加了对入射波的反射和透射次数，结果使得导带和禁带的分界更加清晰，导带内部的透射率线更加密集，正如图2所示，导带好像是连续分布似的，而不会改变导带和禁带中心位置及宽度，这也正是图4所显示的结果。

4 结束语

以无限大平板形状的钢、环氧树脂和铝为3个组元，构成一维层状声子晶体的一个原胞；以1000 Hz为中心频率，计算3个组元的中心波长作为各组元厚度的单位，乘以厚度系数x后作为各组元的厚度；以横波为入射波，分别改变厚度系数x及原胞数N，得到了该声子晶体模型的横波带隙结构特征及相应的变化规律。

（1）当厚度系数x=0.2，原胞数N=4时，带隙结构呈现导带和禁带相间分布，所有导带宽度相等，所有禁带宽度相等，但二者的宽度不等的特征。

（2）固定原胞数N=4，以第1导带和第1禁带为例，导带的频率中心值和导带宽度、禁带的频率中心值和禁带宽度随厚度系数x的增加而减小。

（3）固定厚度系数x=0.2，仍以第1导带和第1禁带为例，导带的频率中心值和导带宽度、禁带的频率中心值和禁带宽度均与原胞数N的改变无明显的关系。

本研究中的变化参数仅有厚度系数和原胞数，有关其他参数变化对横波带隙结构的影响有待进一步研究。

[1] Sigalas M. M., Economou E. N.. Elastic and acoustic wave band structure[J]. Sound Vib., 1992 (2)：377-382.

[2] Kushwaha M. S. ,Halevi P. , Dobrzynski L. et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites. Phys. Rev. Lett., 1993(13)：2022-2025.

[3] 温熙森，温激鸿，郁殿龙等.声子晶体[M]. 北京：国防工业出版社，2009：3-5.

[4] 曹永军，董纯红，周培勤. 一维准周期结构声子晶体透射性质的研究[J]. 物理学报，2006（12）：6470-6475.

[5] 刘超. 一维声子晶体杆状结构纵向振动带隙特性[J]. 激光杂志，2013（5）：47-48.

[6] 刘启能. 一维声子晶体中弹性波的全反射贯穿效应[J].振动与冲击，2012（1）：173-176.

[7] 曹永军，杨旭，姜自磊. 弹性波通过一维复合材料系统的透射性质[J]. 物理学报，2009（11）：7735 -7738.

[8] 唐启祥，胡家光，邱学云. 一维层状二组元声子晶体的带隙研究[J]. 安庆师范学院学报（自然科学版），2015（3）：57-59.

[9] 温激鸿，王刚，刘耀宗，郁殿龙. 基于集中质量法的一维声子晶体弹性波带隙计算[J]. 物理学报，2004（10）：3384-3388.

[10]胡家光， 张晋， 张茜， 郭俊梅. 一维花岗岩/丁腈橡胶声子晶体的带隙及其应用[J]. 云南大学学报（自然科学版），2006（6）：504-508.

[11]邱学云，胡家光. 一维三组元杆状结构声子晶体带隙研究[J]. 重庆师范大学学报（自然科学版），2013（2）：102-107.

Study on Shear Band Gap Structure of Layered Phononic Crystal

TANG Qixiang, QIU Xueyun, HU Jiaguang
(School of Information Science, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

The transmissivity of the elastic wave in one dimensional layered photonic crystal formed by three elements of steel, epoxy resin and aluminum is theoretically deduced; the band gap structure of the phononic crystal is characterized by the distribution of the shear wave transmissivity; the center wavelength of each component is de fi ned as the unit of thickness of the corresponding component, and multiplied by the same coef fi cient as the actual thickness. The effects of thickness coefficient and the number of cells on the band gap structure of the photonic crystal are studied respectively. With the increasing of the thickness coef fi cient, the conduction bands and band gaps are evenly distributed, but they are generally unequal in width; Their center positions move to the low frequency band; meanwhile, their widths decrease together. With the increasing of the number of cells, their centers and widths don't change.

phononic crystal; shear wave; band gap structure

O735

A

1674-9200（2016）06-0059-04

（责任编辑 刘常福）

2016-09-16

云南省教育厅科研基金项目“一维周期性弹性材料结构传输特性的研究”（2014Y474）。

唐启祥，男，云南东川人，文山学院信息科学学院副教授，硕士，主要从事材料物理的研究；邱学云，男，云南宣威人，文山学院信息科学学院副教授，硕士，主要从事声子晶体研究；胡家光，男，云南丘北人，文山学院信息科学学院副教授，博士，主要从事声学研究。