基于单向滑模的永磁同步电机摩擦自适应控制

方世鹏，胡昌华，扈晓翔，李红增

（火箭军工程大学 控制工程系，西安 710025）

基于单向滑模的永磁同步电机摩擦自适应控制

方世鹏，胡昌华，扈晓翔，李红增

（火箭军工程大学 控制工程系，西安 710025）

针对摩擦条件下永磁同步电机伺服系统的高精度位置控制问题进行了研究。利用单向滑模控制算法和广义麦克斯威尔滑动（GMS）摩擦模型，设计了具备摩擦前馈补偿功能的力矩控制器，对GMS模型的参数进行了自适应调节以补偿摩擦力变化。通过设计适当的趋近率，使得该控制器在保证系统稳定的同时，产生连续的期望电流信号，消除了普通滑模带来的抖振问题，同时采用反步法反推控制电压获得了保证系统总体稳定的控制信号。最后的仿真实验结果表明，提出的方法有利于提高摩擦条件下永磁同步电机控制的控制精度。

永磁同步电机；摩擦补偿；单向滑模控制；反步法

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）具备体积小、力矩大、效率高等优点[1]，越来越多地应用在高性能的驱动机构中。在高精度电机伺服系统中，摩擦会导致闭环系统稳态误差、极限环振荡、低速爬坡等现象[2]，因此摩擦补偿一直是控制领域十分重视的课题[3]。滑模控制因其对于匹配不确定性的鲁棒性和系统的设计过程而受到广泛研究[4]，在摩擦补偿中也得到了大量应用，但是由于非线性切换项和非理想电子开关等因素会引起系统抖振。

摩擦补偿要求电机伺服系统能控制克服摩擦力所需的力矩，利用摩擦模型和直接力矩控制方法可对摩擦力实现预测前馈补偿，从而获得较好的控制效果[5]，而若利用传统的滑模控制作为力矩控制器[6]，存在两方面的问题：一方面是抖振问题，另一方面是非匹配不确定性的鲁棒性问题。由于永磁同步电机的控制输入通常是电压，输入电压和力矩是不匹配的，另外由于电机电气部分存在惯性环节，所以会导致实际电流处于切换电流处的一个滞后带里[7]，这相当于为滑模控制添加了边界层，使得控制误差只能收敛到有界区域。反步法能有效地解决非匹配不确定性的鲁棒性问题[8]，但是当传统滑模控制作为力矩控制器时，必须结合动态面控制技术[9]才能反推控制电压。单向滑模控制方法由傅健等人提出[10]，其最大的优势在于能在去抖振的同时保持滑模对于扰动的不变性[11]，所设计的控制器本质上是连续的，具有非常广阔的应用前景。

考虑基于单向滑模控制(Unidirectional sliding mode control, USMC)算法控制摩擦条件下的永磁同步电机获得较高的位置跟踪精度。利用GMS(generalized Maxwell-slip)摩擦模型，提出一种基于终端滑模的自适应单向滑模控制算法控制电机力矩进行摩擦前馈补偿，通过设计适当的趋近率，使得控制器所产生的控制电流满足连续条件，利用反步法克服控制电压和力矩的非匹配问题，获得保证永磁同步电机伺服系统稳定的控制电压，最后通过仿真实验验证了方法的有效性。

1 系统建模

1.1 永磁同步电机伺服系统模型

针对永磁同步电机驱动的伺服系统，假设PMSM为隐极式，磁路不饱和，气隙磁场为正弦分布，忽略磁滞和涡流损耗影响，定子为三相对称绕组，可以建立d-q坐标系下的动力学方程如下式所示[12]：

为了便于研究，假设负载只包括惯性负载和摩擦负载，并且都折算到电机轴上。式(1)中：ud、uq、id、分别为PMSM直轴、交轴的电压和电流；φf、Rs、分别为永磁体磁链、定子电阻和等效直轴交轴电感；Te为PMSM的转矩；Tf为折算到电机转子上面的摩擦力矩；ωr为电机转子的机械转速；np为PMSM的极对数；J为轴系的转动惯量。

1.2 GMS摩擦模型

GMS模型[13]是一种多状态变量动态摩擦模型，该模型利用多个中间过渡状态变量z将外部速度和摩擦力关联起来，每一个零质量块都在粘滞状态和滑动状态之间切换，同一时刻只能工作在两者之一的状态，有：

1）当第i个零质量块处于粘滞状态时，

2）当第i个零质量块处于滑动状态时，

滑动状态会持续直到外部输入速度换向。

式(3)中：q为输入位移；每个零质量块与一个弹簧相连，弹簧系数为 ki；弹簧变形量为 zi；δ是与负斜率效应（Stribeck效应）相关的函数；FC、FS代表库仑摩擦力和静摩擦力；vs、δ为Stribeck常数；为归一化分数代表每个零质量块的权重系数；参数)决定了摩擦力在滑动区域收敛于Stribeck曲线的速率。

则零质量块的弹性力kizi加上与外部速度相关的粘滞摩擦σq˙，便可以描述摩擦力[13]：

式中：nz为并联的零质量块数量，则每个零质量块的输出弹性力为为回归向量，代表GMS参数向量。

2 控制器设计

2.1 力矩控制器设计

如前文所示，控制目标是选择合适的控制电压ud和uq，使得输出位移x能够跟踪期望运动轨迹xd，假设连续且有界。为此首先考虑伺服系统的机械部分，并令代表机械部分的控制力矩，则机械部分误差动态方程为

式中：x为电机转子位置，控制目标变为系统(5)在摩擦力Ff下的镇定问题。为了提高系统轨线到达稳定滑模面后快速的收敛到原点，设计如下终端滑模面：

图1 单向滑模面示意图Fig.1 Unidirectional sliding mode surface

引理 1[11]：考虑位于第l∈{0,1,2,3}子空间的点单向辅助滑模动态如式(8)所示，则对于点P有并且仅当有

定理1：考虑非线性系统(5)，利用GMS摩擦模型(4)，终端稳定滑模面如式(6)所示，单向辅助滑模面如式(8)所示，如果控制律采用式(9)，自适应控制律采用式(10)，则闭环系统(5)渐进稳定。

证明：定义新变量d=m-h，h代表当前单向辅助滑模动态，ˆa代表 GMS摩擦模型参数估计值，取李雅普诺夫函数为

首先证明系统的稳定性，当系统在某子空间时，利用式(5)求取上述李雅普诺夫函数导数如下：

将控制律(9)代入式(12)，可得：

由式(15)可得：

下面设计趋近率N使得控制律连续。由式(9)可知造成控制律不连续的项为（去除常值参数J）

首先设计趋近率使得当状态位于子空间时是连续的，定义新变量代表图 1中射线OP与坐标横轴正向的夹角，取值范围为则可以设计趋近率如下：

证明：当系统状态在射线OPs2-上运动时和设计如下（l=0, 1。l=0时，±取+；l=1时，±取-）：

将式(18)代入式(16)可得：

可知所设计的趋近率使得控制律在射线OPs2-上连续。还可以证明[11]Nl满足稳定性条件N 0≥ 。

连续的证明过程同式(19)。通过上面的分析，可知当状态位于终端滑模面上时，控制律是连续的。

2.2 反推控制电压

取系统(1)的一个李雅普诺夫函数为

对其求导可得：

3 仿真实验

以系统(1)所示伺服系统为仿真对象，对上述控制算法的效果进行验证。利用GMS模型建立模拟的真实摩擦力矩，假设在5s时由于外在环境突然变化导致摩擦力矩发生变化，具体参数见表单位分别为

表 1 模拟真实摩擦力参数Fig.1 Simulated parameters based on GMS model

为了进行对比，利用具有指数收敛率的普通滑模作为力矩控制器进行设计，力矩控制律为

式中：ϑ=5，ρ=5，λ=3。为了防止对力矩控制器求导，利用动态面控制技术反推控制电压。图2是采用普通滑模控制与所提方法跟踪误差对比图，从图中可以看出，所提的方法具有更小的跟踪误差，尤其是5 s后当摩擦力矩突然变化后，由于普通滑模缺乏自适应调节能力，跟踪效果变得很差。从输入角度看，如图 3所示，为了保证跟踪误差为零，控制电压在 5 s时对摩擦力矩突变进行了相应的调整，同时没有出现抖振，而采用普通滑模时控制电压如图4所示，系统会产生抖振问题。

图2 普通滑模控制与本文所提方法跟踪误差对比Fig.2 Comparison on tracking errors between common sliding mode algorithm and the proposed method

图3 本文所提方法的控制电压Fig.3 Control voltages with the proposed method

图4 普通滑模控制时的控制电压Fig.4 Control voltages with common sliding mode algorithm

4 结 论

摩擦会恶化永磁同步电机构成的伺服系统的控制性能。采用能描述已知所有摩擦现象的GMS摩擦模型，结合单向滑模控制设计具备摩擦补偿的自适应力矩控制器，利用反步法技术推得保证整体系统稳定的控制电压。仿真实验验证了方法的有效性，说明摩擦变化条件下所提方法比一般滑模控制能达到更好的跟踪精度，且避免了普通滑模控制所带来的抖振问题。

（References）：

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Adaptive friction compensation method for permanent magnet synchronous motor based on unidirectional sliding mode control

FANG Shi-peng, HU Chang-hua, HU Xiao-xiang, LI Hong-zeng

(Department of Control Engineering, Hi-Tech Institute of Xi’an, Xi’an 710025, China)

High-precision position control of permanent magnet synchronous motor servo system is studied under the condition of friction. A torque controller for friction feedforward compensation is designed by using the sliding mode control with unidirectional auxiliary surfaces (USMC) algorithm and the GMS model. The parameters of the GMS friction model are online adjusted to compensate the variety of friction. The torque controller guarantees the bounded stability of the system and keeps continuous by appropriate design. The backstepping algorithm is used to solve the unmatched problem between controlling voltage and disturbance torque. Simulation results show that the proposed method can improve control accuracy for PMSM under the friction condition.

permanent magnet synchronous motor; friction compensation; unidirectional sliding mode control; backstepping

TP29

A

1005-6734(2016)02-0224-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.016

2015-12-26；

2016-03-25

国家自然科学基金青年基金（61304001）

方世鹏（1984—），男，博士研究生，从事电动伺服系统研究。E-mail: shipeng_001@163.com