领悟“幂的运算”中的数学思想方法

陈兰



领悟“幂的运算”中的数学思想方法

陈兰

幂的运算是整式乘除法的重要组成部分，学习幂的运算不仅是运用其性质进行计算，领悟幂的运算过程中蕴含的数学思想更是学习过程中不可或缺的深层认识.巧用各类数学思想对解决有关问题常有事半功倍的效果.

一、整体代入思想

例1已知2x+5y-4=0，求4x-1·32y的值.

【解析】4x-1·32y不是简单的同底数幂的乘法，另外指数x-1和y并没有直接的值可以代入，由2x+5y-4=0可得2x+5y=4，故而想到可逆用幂的乘法法则转化为以2为底的幂相乘的形式，然后整体代入求值.

解：由已知2x+5y-4=0，得2x+5y=4，

所以4x-1·32y=（22）x-1·（25）y=22x-2·25y= 22x-2+5y=22x+5y·2-2=24×2-2=22=4.

【点评】当无法由已知条件直接求未知数的值时，可考虑整体代入的思想方法，在解决不同底数的代数式的求值时，关键将不同底化为同底，通过转化会发现有整体代入的结构，故而问题迎刃而解.

二、方程解析思想

例2根据条件，求下列各式中x的值.

（1）已知33x-3=1，求x的值；

（2）已知23·（22）x=256，求x的值.

【解析】（1）方程的右边是1，我们知道任何不等于0的数的0次幂等于1，从而有3x-3=0，知识点：a0=1（a≠0）.

（2）已知方程的左右两边不是同底数的幂，所以先考虑将它们转化为同底数的幂，重新构建新的等量关系，求出未知数的值.

解：（1）因为33x-3=1，所以33x-3=30，则3x-3=0，解得x=1.

（2）因为23·（22）x=256，所以23·22x=28，所以23+2x=28，则3+2x=8，解得x=2.5.

【点评】对于同底数幂的乘法中的方程，关键是通过适当的变形寻求等量关系构建出新的方程.

三、化归转变思想

例3已知xm=9，xn=6，xp=2，则xm+3p-2n的值.

【解析】本题的关键是利用同底数幂乘除法的性质，把要求的式子xm+3p-2n转化为与已知条件有关的形式，再分别代入求值.

解：解法1：xm+3p-2n=xm·x3p÷x2n=xm·（xp）3÷ （xn）2=9×23÷62=2；

解法2：由xn=6，得（xn）2=62=36，（xp）3= 23=8，所以xm+3p-2n=xm·（xp）3÷（xn）2=9×8÷36=2.

【点评】解法1是逆用同底数幂的乘除法性质、幂的乘方性质，将xm+3p-2n转化为同底数幂的乘除的混合运算，基本思想是从所求目标出发回归已知条件；解法2从已知条件出发构造出求值式中的x3p，x2n，运用同底数幂的乘除法性质转化求值式xm+3p-2n为xm·（xp）3÷（xn）2，基本思想是从已知条件转化为所求目标.

变式1已知x3=m，x5=n，用含有m、n的代数式表示x19是多少.

【解析】由同底数幂的乘法的逆运算可得x19=x9·x10，再由幂的乘方的逆运算可得x9=（x3）3，x10=（x5）2，最后通过转化后的结果代入求值.

解：x19=x9·x10=（x3）3·（x5）2=m3n2.

【点评】本题的关键在于表达形式的转化，转化后再运用整体代入的思想.

变式2 已知9x+1-32x=72，求x的值.

【解析】本题左右两边是不同的形式，首先从形式上进行化归统一，两边都可以向底数为9上进行转化，再结合方程的思想寻找相等关系式，求出未知数的值.

解：由9x+1-32x=72得（32）x+1-（32）x=72，9x+1-9x=9×8，9x（9-1）=9×8，9x=9，x=1.

变式3 已知2a=4，2b=6，2c=9，求a、b、c之间有什么样的数量关系？

【解析】观察4、6、9之间的联系，不难发现4×9=36，故而可以建立2a、2b、2c三者之间的关系，通过关系式的代入转化可得2a×2c= （2b）2，再运用同底数幂的乘法和幂的乘方运算得出关系.

解：因为4×9=36，所以2a×2c=（2b）2，所以2a+c=22b，所以a+c=2b.

【点评】本题对同学们通过寻找数量关系发现等量关系方面的要求有点高，仅仅从独立的各式2a=4，2b=6，2c=9求不出a、b、c的值.

四、分类讨论思想

例4（2m-7）m+3=1，求m的值.

【解析】我们知道-1的偶次幂等于1，1的任何次幂都等于1，还知道非零数的零次幂等于1，从而得出此题需要分情况讨论：一是指数为0且底数不为0；二是底数为1指数为任何数；三是底数为-1指数为偶数.

解：①当m+3=0且2m-7≠0时，解得m=-3；

②当2m-7=1时，m+3为任何数，解得m=4；

③当2m-7=-1时，m+3为偶数，解得m=3.

综上可知，m的值为-3、4、3.

【点评】涉及幂的乘方值为1的问题时，同学们往往容易漏解，另外讨论时要对相应的解进行条件的验证，关于1的偶、奇次幂，0次幂的问题要理解到位，利用分类讨论的思想考虑全各种可能情况，做到不重复、不遗漏.

（作者单位：江苏省泰州实验中学）