探究明理感受数学魅力——《判断2、3、5的倍数特征》一课的教学与说明

罗鸣亮

【课前思考】

在一次教学研讨活动中，观摩了一位教师执教的《3的倍数特征》一课。课中有学生质疑“3的倍数为什么要看各个数位上的和”，教师一带而过；课后追问现场教师是否知道背后的道理，均都摇头否定。这引起了笔者的思考——师生是不是只要知道3的倍数特征就行了？这个道理是否能在课堂上让学生明白透彻？

带着思考，查阅几套版本教材，发现教材在教学2、3、5倍数特征这一内容时，几套教材均借助百数图，让学生通过观察，寻找到2、3、5倍数的特征，但是对于其特征背后的道理，并无进一步探究，仅是在最后以“你知道吗”“百花园”等栏目，做简单的介绍。再查阅台湾版教材，笔者看到教材利用数形结合的方式，借助对方格图进行平均分，让学生明白：判断这个数是不是3的倍数，就是要把每个数位上表示的数，3个3个分，分剩下的再合起来分进行判断的。141就是把1个百、4个十都分别3个3个分，分剩下的1和4再加上个位的1得到“1+4+1”的判断方法。这样的处理，从倍数的本质特征入手，不仅让学生知道该怎么判断3的倍数，而且理解为什么这么判断的道理，让学生明明白白地学数学。

“好的数学教学，是把数学知识、数学方法、数学思维、数学思想融为一体的教学。”我们是否以探究这一知识背后的道理为载体，设计一节拓展课，让学生深入明白知识的来龙去脉。这既是对已有知识的有效拓展，又有效激发学生对数学知识的探究欲望，让学生在探究中真正感受数学学习的魅力，以培养学生的理性精神。

【教学目标】

1.学生通过自主提出问题，借助小组讨论、举例说等方法，探索解决“为什么判断2、5的倍数只要看个位，而判断3的倍数要看各位上数的和”这一规律背后的道理。

2.在自主探究、交流互动中培养学生解决问题的能力，发展推理能力，积累数学活动经验，渗透抽象、推理、符号化等数学思想。

3.激起学生对数学知识本质的探究欲望，感受数学的理性精神。

【教学过程】

一、唤醒旧知，产生新问题

师：前不久，我们学了 2、3、5的倍数的特征。判断一个数是不是5的倍数，怎么判断？

生：看一个数的个位上是不是0或5。

师：那么3呢？

生：所有数位上的数字相加是3的倍数。

师：是的，5的倍数看个位，3的倍数看各个数位的和，对比一下，你有新的问题产生吗？

生：它们的公倍数是谁？

师：学过了吗？那就不是问题了。还有吗？

（学生沉默）

师：刚才说过了，5的倍数看个位，3的倍数看的是各个数位，我女儿学完这节课以后，她提出了一个问题，你猜她会提什么问题？

生：为什么5的倍数只要看个位就行了，而3的倍数为什么要看全部位数？

师：这个问题提的好吗？

生：好。

师：好在哪？

生：把3和5的倍数之间的判断方法之间作了比较，产生新问题。

【说明：“提出问题比解决问题更重要”，从已有的知识入手，让学生在比较中提出新的问题，培养学生的质疑能力。】

二、感悟判断5、2倍数特征的道理

1.初步思考，尝试寻找答案。

师：我们先看第一个问题，为什么判断一个数是不是5的倍数只要看个位数？其他数位都不用看呢？同桌之间先讨论一下，说一说，看看怎么解决这个问题？

师：一组一个代表，谁先来？

生：比如说两个5相加，它末尾是0，偶数个5相加，得数的个位是0；奇数个5相加，得数的个位是5，所以5的倍数个位只能是0或5。

(学生鼓掌)

师：都同意了？有没有不同意见？或者补充呢？

生：我和我的同桌还有一种判断方法，就是一个奇数乘以5，它的个位一定是5；一个偶数乘以5，它的个位一定是0。

师：想想看，我们提出的问题是：为什么判断这个数是不是5的倍数为什么只看个位呢？而其他数位都不用看呢？

生：我认为它或许是因为十位、百位、千位、万位等位数都是由个位进过来的，所以只需要看个位。

师：谁听明白了？

生：我有补充，就是除了个位外，其他数位上的数表示的末尾都是0，百位表示几百，末尾有0，十位表示几十，末尾也有0。有0的就是5的倍数，而那个只要看个位是不是5的倍数就可以了。

2.举例讲理，初步理解道理。

师：你真听懂了？谁能说清楚？

生：我认为应该是可以把它分成几部分，比如说是1995，可以把它分成1000、900、90和5，1000可以被5整除。

师：听懂的请举手。真好，有些同学听懂了，有些同学没听懂，怎么办？想想看，如何让大家都能听懂？

生：我可以举个例子，比如说1995，可以把它分成4部分，分别是 1000、900、90、5，然后1000是5的倍数，900也是5的倍数，90也是，5也是5的倍数。

师：听明白了？还有不懂的吗？重要的事情——

生：说三遍。

师：好，你可以到黑板上写一写，掌声请他。

生：（写 1995），我把 1995分成四部分，然后再用1000除以5，可以算出它是5的倍数，然后再用900除以5，它也是5的倍数，然后90和5也是同样的。

师：那为什么你只看个位，其他位不用看呢？

生：因为它们的个位都是0，都是5的倍数，所以不用看。

3.数形结合，直观理解道理。

师：我们一起来理解他所说的，这里（十位）写个1,1是5的倍数吗？是还是不是？1怎么会是5的倍数呢？

生：因为这个1在十位上，10是5的倍数。

师：对不对？掌声送给他！是的，这个1（课件出示），5个5个地分，刚好分完。

师：（在计数器上拨3个珠子）现在呢？是不是5的倍数？为什么是？

生：因为它表示3个十。

师：现在不让大家看见，（教师隐藏计数器，在十位上拨任意珠子）现在呢？是不是5的倍数？你没看到，怎么知道是呢？

生：因为十位上无论拨几个珠子都能被5整除。

师：为什么？

生：因为每个十都是由2个5组成的，十位表示的是有几个十，一个十有2个5，不管几个十都能被5整分。

师：真好。那我现在不在十位拨了，百位是1，是5的倍数吗？讲道理，为什么？

生：100里面有10个10，然后10是可以被5整除的，10个10也能被5整除。

师：对，猜猜接下来我会在哪一位上拨？

生：（兴奋地喊）千位。

师：确定？对不起，你们都猜错了。我为什么不在千位上拨了？

生：千位和百位、十位都一样，因为1000是由10个100组成，而100能被5整除。

师：真好，是的，那么千位还用看吗？（不用看）猜猜，我接下来拨哪一位？

生：个位。

师：（隐藏计数器，在个位上拨任意珠子）现在呢？怎么啦？

生：不一定是5的倍数。

生：因为如果你个位拨了1个的话，不是5的倍数，在个位拨5才能是5的倍数。

生：或者你没拨，就是0，就没必要分了，一定是5的倍数。

师：同学们说得真有道理。我们一起来看看刚才拨了几个？6个珠子，5个5个地分，还余1个。现在你明白了为什么判断是不是5的倍数只看个位，其他数位不用看的道理了吗？

生：因为其他数位上的数表示的是几个十、几个百、几个千……，它们一定是5的倍数，所以不用看。

4.方法迁移，明白判断2的倍数特征的道理。

师：5的道理是这样，想想看，谁和5的道理是一样的？

生：2。

师：为什么？

生：因为它的十位，如果1个十的话，它里面就有5个2，100里面就有50个2，1000就是500个2，所以十位、百位、千位都不用看。个位不拨的时候，或者拨 2个、4个、6个、8个，然后才能是2的倍数，其他都不是2的倍数。

师：说得好吗？

师：是的，他刚才讲的1个十里面可以分成5个2，不仅讲到百，还讲到千了，是吧？所以判断2的倍数的道理和5的道理是一样的。

【说明：数学思想和数学活动经验要在过程中实现，只有经历解决问题的过程，才能体会到数学思想的精髓，才能感悟数学思想和方法，从而积累数学活动经验。在此环节中，通过学生自主探究2的倍数这一特征的道理，让其借助举例、画图等直观方式，学生从表述不清晰的说理，到结合举例实例说理，到最后借助板书，根据数的组成，清楚地表达出自己的观点，逐步推理出判断2的倍数只要看个位数的道理，我们看到学生的思考在逐步深入，逐步完善。】

三、明晰判断3的倍数的道理

1.反思总结，积累经验。

师：5、2的道理都明白了，但是判断3的倍数为什么不能只看个位呢？

生：因为3个3个分结果是不确定的，可能是0，可能是1，可能是2等等，所以不能看个位，得总体来看。

师：为什么不确定？为什么要总体来看呢？

生：就是因为10不能被3整除，100不能被3整除，1000也不能被3整除。它有余数，所以必须和最后的个位加起来判断。

师：你听懂了没有？他说的和你说的有什么不一样？

生：他是从10出发来考虑的，因为10可以组成百、千、万等等。

师：真好！你解读好了，他为什么懂得从10考虑，你怎么没想到？

生：大概是我没反应过来吧，没结合2和5，所以我以后考虑问题应该全面点。

师：会反思的孩子，掌声送给他！

2.合作探究，互动说理。

师：这位同学结合2和5的经验来思考。你看，10个珠子3个3个分？剩1个，那就产生了我们要解决的第二个问题，是什么？想自己研究吗？（想）你准备怎么研究？

生：举例子，寻找规律。

师：真好，会用刚才的方法来探究了。我已经给大家准备了探究单，在抽屉里，请拿出来，先独立思考，再同桌商量，最后小组交换意见。

师：好，谁来说说你们的想法？

生1：我先举个例子，比如说12，我们先把10拆分开，用10除以3它还余下了1，这个1再加上个位上的2就等于3，可以被3整除，所以12这个数是3的倍数。

师：听懂的请举手，有什么问题要问他的吗？

生2：是所有十位以上的整数都是除以3后余下1吗？

生1：是每个十除以3都余下1。

生2：那300呢？

生 1：300可以分成 3个100，100除以3余下了1个1，3个100就余下了3个1。

师：这个同学不得了，你举的12，他一下子举出更大的数。没关系，我们先来看看12，刚才把12分成10和2,，你看，10个珠子，把10个珠子3个3分余下1个，为什么要加2？

生：因为个位还没有算，所以要1＋2。

师：哦，1加2的1表示什么？这个1是哪来的？

生：是10除以3之后余下来的1。

师：余下的这个1有没有被分掉？那为什么要加2呢？

生：因为个位上有个2，再加10除下来的1，又可以凑起来。

师：听懂了吗？那好，22我们是怎么判断的？

生：首先把这个22的20分成2个10，1个10除以3后它就会余下1个1，2个10除以3后也会余下来2个1，然后加上个位的2，2+2=4，4不能被3整除，所以4不是3的倍数。

师：同意吗？这个同学还用框框表示出，这里的两个2是不一样的。一个表示2个十，一个表示分剩下的2个一再加2个。掌声祝贺她，你可以骄傲地走回去。

师：要不要来个大一点的？42我们怎么判断？（4加2）

生：4个十3个3个分，就余4个1,4个1加上个位上的2，是6,6可以被3整除，就是3的倍数，

师：同意吗？

生：我想给他补充一下，4个10它能分成4个9，4个9加4。9是能被3整除的，所以4乘9肯定能被3整除的。余下来的4加上末尾的2是6，6也能被3整除。所以他们表述的4个1，是40剩下来的4个1。

师：你们有没有听明白？为什么大家都觉得同意了，他还要补充呢？补充的和它有什么不一样呢？3个十怎么会余3呢？

生：每个十余1，3个十就余3。

师：那这个3不是还可以分吗？

生：现在先不分，把它留到最后面分。

师：所以你一直要强调？

生：把它分成4个9余4。

师：在大家的互相补充中，我们又有些新的认识，要不要换个大一点的数？

师：谁来讲道理？142怎么判断？为什么呢？

生：因为100除以3，除不尽，有余数。（停顿思考）

师：对了，那“142”里的这个1与底下的“1+4+2”的1一样吗？

生：不一样。

师：有什么不一样？

生1：上面的1表示的是1个百，下面的1表示的是余下来的1。

生2：1个百3个 3个分，分了99个，还余1个。

师：这里的4呢？

生：1个十3个3个分，余1个，4个十就余4。

师：那你明白“1+4+2”的道理了吗？

生：就是1个百3个3个分余1个，4个十3个3个分余4个，把余下来的1个、4个还有个位的2个合起来再一起分，如果能分完就是3的倍数，如果不能分完就不是3的倍数。

3.符号抽象，明晰道理。

（教师板书：abc）

师：这个数咱们怎么判断是不是3的倍数呢？同桌之间先小声地说一说。

师：孩子你上来。（掌声）

生：先算a除以3等于多少，看它余下来多少，再算b除以3等于多少，看它余下来多少，最后看c除以3等于多少，看它余下来多少。

生：a个百余下来是a，b个十就是余下来b,c个一就是余下来c。

师：为什么要把它加起来呢？

生：合在一起分，看看是不是能分完，就能判断是不是3的倍数。

【说明：学生经历5、2倍数特征的道理探究后，再探究3的倍数特征时，已具有研究经验和研究方法做支撑，探究就变得有道可循。为此，本环节在学生合作探究、交流中，加上教师关键的追问，得出为什么3的倍数要看各位上数的和的道理。让学生在反思、抽象、概括中，内化为自身的活动经验，最后借助符号总结归纳，完成论证推理过程，从中获取成功的喜悦。】

四、反思总结

师：想想看，今天这节数学课与平时有不同的地方吗？

生：平时的数学课不往里面挖的，这节课我知道了为什么3的倍数这样判断。我知道了它里面究竟是什么意思，我也知道了2和5的倍数的意思，我觉得我这节课收获挺大的。

生：我觉得平时我们上数学课老师直接教我们方法，这节课我们是寻找为什么要这样做。刨根问底，归纳方法。

生：……

【说明：借助反思，让学生感受到数学不仅要知其然，还要知其所以然，进一步感受数学学习的独特魅力。】

【课后思考】

教学的最高境界是在教给学生知识与方法的同时，还要让学生在探究知识的过程中感悟和领悟数学中所蕴含的数学文化、数学思维、数学态度、数学精神。令学生悟之得“智”，真正变得聪慧起来。教师在课堂教学中，应该借助具体的数学知识为载体，让学生在探究知识的来龙去脉中，领略、感受数学学习的魅力！