一类特殊数列求和问题的处理策略



一类特殊数列求和问题的处理策略

湖北省武汉经济技术开发区第一中学(430056)朱玲吴智

数列问题一直是高考的高频考点，也是高三复习备考的主干知识.近几年在全国及各省市的高考卷中陆续出现了一些递推式中含(-1)n的数列求和问题，这些问题处理方法大同小异，只要掌握基本方法和原理，完全可以做到逢题必会，逢考必胜.下面，笔者给出这类问题的几种处理策略，以飨读者.

策略一：形如an=(-1)n·f(n)，用并项求和法处理

所谓并项求和法，就是将待求数列的前n项和“化整为零”，把位置相邻的两项结合在一起，研究它们的内在规律，找出an+an+1的定值关系或表达式，从而实现问题的解决.

例2数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100=.

解析：S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100),又an+an+1=(-1)n-1·[(4n-3)-(4n+1)]=(-1)n·4，当n为奇数时，an+an+1=-4,故S100=50×(-4)=-200.

策略二：形如φ(an+m,(-1)nan)=f(n)，用奇偶讨论和分组求和法处理

已经关停的油井，是否还有必要恢复？读罢贵刊2018年第19期刊登的报道《“唤醒”关停井》一文，得出的答案不仅是“有必要”，而且是“油田企业扭亏脱困的重要手段”。

这类问题的处理相对比较复杂，但仍有章可循，有“法”可依.往往需要对n分奇偶讨论，找到相邻两个奇(偶)数项之间的变化规律，然后利用分组求和法处理.

例3(2012年新课标全国卷第16题)数列{an}中，an+1+(-1)nan=2n-1，则数列{an}的前60项和为.

解析：用2n、2n+1、2n-1分别替换an+1+

(-1)nan=2n-1中的n，得

例4在数列{an}中，a1=1,an+2+(-1)nan=1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S100=.

策略三：形如φ(Sn,(-1)nan)=f(n),用奇偶讨论和阶差法处理

这类问题以能力立意，多设置在选填题的压轴或次压轴的位置.考查学生的逻辑推理和运算求解能力，对学生的综合能力要求较高.同策略二，可对n分奇偶讨论，同时施以阶差法的运用，问题得到巧妙解决.

解析：用2n、2n+1、2n-1分别替换Sn=

策略四：形如φ(an,(-1)nf(n))=k(f(n)中含有三角函数式,k为常数), 用归纳推理或奇偶讨论法处理.

这类问题比较简便的解法是利用归纳推理，结合三角函数的周期T，研究连续T项和的变化特征，从而归纳得到要求的结果.另外，也可以利用奇偶讨论法处理.

解法一：(归纳推理)由an=(-1)n(2n-1)·

事实上，作为一道填空题，猜想的证明过程完全可以忽略不考虑.只要观察、发现连续四项和为定值这一隐含结论，问题便可迎刃而解.但作为归纳推理的应用，严谨的分析和推理还是很有必要的.

(-1)+(4n+3)·1+2=6.故S120=(a1+a3+…+a119)+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a118+a120)]=60×1+6×30=240.