一类四阶两点边值问题正解的存在性和唯一性

武　晨

(江苏联合职业技术学院 南京分院，南京 210019)



一类四阶两点边值问题正解的存在性和唯一性

武晨

(江苏联合职业技术学院 南京分院，南京 210019)

摘要：两端简单支撑弹性梁的变形可以用四阶常微分方程边值问题来描述，由于其在物理中的重要性，已经有许多人研究了该类解的存在性，但绝大数方法都是用锥上的不动点定理得到解的存在性和多解性，而正解的存在唯一性结果相对较少。利用偏序集上的不动点定理证明了一个四阶两点边值问题正解的存在性和唯一性，并证明了该正解是严格单调递增的。

关键词：偏序集；边值问题；正解

0引言

四阶微分方程在应用数学和应用物理学中有很重要的应用，它可以描述弹性梁在外力作用下的扰曲，不同的边值条件反映了不同的受力状态。因此一直以来四阶边值问题受到了广泛的关注，同时也取得了一系列重要结果[1-4]。在文献[4]中，作者通过应用锥理论和不动点指数概念得到了边值问题正解的存在性。然而以上的研究中绝大部分是通过利用锥上的不动点定理的方法来证明解的存在性，利用偏序集上的不动点定理来证明解的存在性和唯一性结果相对较少。本文研究的边值问题如下：

即利用偏序集上的不动点定理来证明问题正解的存在性和唯一性，并证明了该正解还是严格单调递增的。

1预备引理

引理2假设E满足引理1中的条件，且(E,≤)满足：对于x,y∈E，存在z∈E，使得x和y均可与z相比较，则不动点是唯一的[7]。

引理3假设y(t)∈C[0,1]，那么边值问题：

对应的格林函数[6]为：

从而由引理3，我们可得引理4。

在本文中，我们假设以下条件成立：

(H1)f(t,u(t))≠0，其中t∈Z⊂[0，1]，μ(z)>0(μ指的是Lebesgue测度)时，f:[0，1]×[0,+∞)→[0,+∞)是关于第二个变量的单调非减连续函数；

2主要结论

定理1假设条件(H1)、(H2)成立，则边值问题(1)(2)存在唯一的并且是严格单调递增的正解u(t)。

最后，证明算子T满足引理1和引理2 的所有条件，由条件(H1)和v≤u可知：

另一方面由假设(H2)和对任意的v≤u，有：

因为函数h(x)=ln(x+1)非减，从而可知

≤‖u-v‖-(‖u-v‖-ln(‖u-v‖+1)。

由引理1可知，算子T至少存在一个不动点，该不动点即为边值问题(1)、(2)的解。

因此，边值问题(1)、(2)至少有一个非负解。又因为(K,≤)满足引理2的条件，所以由引理2可知边值问题(1)、(2)的解是唯一的。由算子的定义以及假设条件(H1)易知该解是严格递增的。

参考文献

[1] Yang Y,Zhang J H.Existence of infinitely many mountain pass solutions for some fourth-order boundary value problems with a parameter[J].Nonlinear Anal Theory,Methods, & Applications,2009(71):6135-6143.

[2] Yang Y,Zhang J H.Nontrivial solutions on a kind of fourth-order Neumann boundary value problems[J].App Math Comp,2012(218):7100-7108.

[3] 李永祥.四阶边值问题正解的存在性与多解性[J].应用数学学报,2003(26):109-116.

[4][6] 张艳红.含有一阶导数的四阶边值问的正解[J].苏州大学学报:自然科学版, 2012(1):7-11.

[5] Harjani J, Sadarangani K.Fixed point theorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets[J].Nonlinear Anal Theory,Methods & Applications,2009(71):3403-3410.

[7] Nieto J J,Rodriguez-Lopez R.Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations[J].Order,2005(22)：223-239.

(责任编辑:尹晓琦)

Existence and Uniqueness of Positive Solution for SomeFourth-Order Two-Point Boundary Value Problems

WU Chen

(Branch of Nanjing，Jiangsu Union Technical Institute,Nanjing 210019,China)

Abstract:The deformations of an elastic beam in equilibrium state can be described by a fourth-order ordinary differential equation boundary value problem. Owing to its importance in physics, the existence of solutions to this problem has been studied by many investigators. But in most of methods, the existence and multiple results are obtained by the fixed point theorem on cone, and the existence and uniqueness positive solution are relatively few. In this paper, we considered a fourth-order two-point boundary value problem and with the help of a fixed-point theorem in partially ordered sets, sufficient conditions for the existence and uniqueness positive solution to the above boundary value problem were obtained. We also showed that this solution is strictly monotonic increasing.

Key words:partially ordered sets;boundary value problems;positive solution

中图分类号：O175.14

文献标识码：A

文章编号：1009-7961(2016)01-0086-03

作者简介：武晨(1985-)，男，安徽宿州人，硕士，讲师，主要从事常微分方程边值问题研究。

收稿日期：2015-09-16