一道奥林匹克竞赛题的简证及其类似推广

■贵州省都匀一中　夏开平



一道奥林匹克竞赛题的简证及其类似推广

■贵州省都匀一中夏开平

在2009年韩国数学奥林匹克竞赛中，有这样一道分式不等式竞赛试题：

本文先利用基本不等式给出赛题的简单证明，然后提出与该赛题类似的两个不等式，并对它们进行多元推广.

证明：因为a，b，c＞0，由基本不等式x2+y2≥2xy的变形（当且仅当x=y时取等号），得

注意观察赛题不难发现，在不等式左边，各项分母有这样的特点：括号内是二次式，括号外是一次式.我们自然会想，如果调换括号内外的次数，是否会有类似的结果呢？笔者通过探究，得到如下的类似题.

由柯西不等式和常见不等式（x+y+z）2≥3（xy+yz+ zx），得：

用同样的方法，可以证明赛题及其类似题的多元推广.

推广设a1，a2，a3，…，an是正数，则：

证明从略.有兴趣的读者不妨一试.F