高三的复习课可以上得有效——以“等式的恒成立问题”的高三复习课教学设计为例

■浙江省宁波市鄞州区正始中学　胡乾彪



高三的复习课可以上得有效——以“等式的恒成立问题”的高三复习课教学设计为例

■浙江省宁波市鄞州区正始中学胡乾彪

2015年11月在学校举行“走进名优教师课堂”课例示范活动中，笔者作为一名名优教师的代表参与了上课活动，课型为高三复习课．由于在刚结束的本校高三年级期中考试中有一道等式恒成立的选择题，从学生答分情况来看不很乐观，学生反映不知该如何着手进行求解，因此笔者根据学生的这一实际情况，决定在这次示范课展示活动中把等式恒成立问题作为一个微专题进行复习，并把课例名称定为“等式的恒成立问题”．

一、现状分析

在现实世界和日常生活中，有大量的相等和不等关系，相等与不等关系既相互对立，又有一定的联系，如三个“二次”．从学生学习数学以来，先学相等，再学不等（大于、小于），先学方程，后学不等式．但进入高中以后，相对来说对不等式方面的学习比较重视，而对等式或方程有些淡化，导致学生对等式恒成立问题的认识不到位，解决办法不多，而在各地高三模拟考试、高考中时而有所出现，也需引起重视．

二、课堂实录

1.引入课题

引例（2015学年第一学期高三期中第8题）已知函数y=f（x）（x∈R）的图像是连续不断的，如果存在常数t，使得f（x+t）=-tf（x）恒成立，那么称f（x）是一个“t型函数”，则下列命题中为真命题的是（）.

A.f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数”

D.f（x）=x2是一个“t型函数”

师：此题是刚刚结束的期中考试中的一道试题，是一道等式的恒成立问题．从同学们的答题来看不是很理想，这节课我们一起来学习等式的恒成立问题．

本节课主要解决两个问题：（1）等式恒成立问题的表现形式有哪些？（2）解决等式恒成立问题的方法是什么？

生1：等式恒成立问题的表现形式是要有等式，且关于某个变量恒成立．解决的方法不清楚．

2.设疑解惑

师：我们先看看下面这个问题.

问题1：当实数m=________，n=_______时，f（x）= m（sin6x+cos6x）+n（sin4x+cos4x）+6sin2xcos2x的值恒等于1.

（参考公式：a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2））

师：此题是等式恒成立问题吗？

生2：是的．有“恒等于”的词语．

师：如何求解？

生2：用特殊值代入．当x=0时，f（0）=m+n=1，当时，哦，那不行！换成，当时，，解得m=4，n=－3．

师：为什么能用特殊值代？理由是什么？

生2：因为此式是对于任意实数x都成立，那么对任意具体给定的实数也一定成立．

师：求出m，n的值后需要验证吗？

生2：理论上是需要的．但现在不用，因为给出的是填空题而且求出的只有一组解，一定是正确的．（全班同学会心一笑）

如果不是填空题，改编成以下的问题呢？

编题1：是否存在实数m，n，使得f（x）=m（sin6x+cos6x）+n（sin4x+cos4x）+6sin2xcos2x的值恒等于1？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

师：（归纳）解决等式恒成立问题的方法1：特殊化思想（先用特殊值探路，再证明一般性成立）

师：在我们高中数学学习过程中，属于“等式恒成立问题”除了以“等式”、“恒成立”等字眼给出，是否还有其他的表现形式呢？

练习2：若函数f（x）=log2|ax-1|的图像的对称轴是x= 2，则非零实数a的值是_________.

生5：函数f（x）=log2|ax-1|的图像的对称轴是x=2，所以f（1）=f（3），解得

生6：对定义域内的任意x，有f（2-x）=f（2+x）恒成立，则|a（2-x）-1|=|a（2+x）-1|恒成立，因为a≠0，所以

师：从上面的练习可以得到，若已知函数为奇函数或已知函数的对称轴等，也可以认定为是等式恒成立的问题.为什么可以这样认定呢？大家一起回归教材，看奇函数是如何定义的.

奇函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.

师：此定义中有等式f（-x）=-f（x），有“都有”两字，因此可以转化为等式恒成立的问题.教材中是否还有其他的“形非神似”的内容可以转化为等式恒成立问题呢？

生7：周期函数.其定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）叫做周期函数.

生8：等差数列和等比数列.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数，那么这个数列叫做等差（比）数列.

（大家一起鼓掌）

师：大家都总结得很好！学习数学不能单单只做题，更应熟读教材，理解其核心本质.

问题2：已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）= f（2x）+x2+2x-3，求f（x）的解析式.

生9：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=0，得c=0，所以f（x）=ax2+bx.由f（x+1）=f（2x）+x2+2x-3，得a（x+1）2+b（x+1） =4ax2+2bx+x2+2x-3.比较对应项系数得解得所以

师：（归纳）等式恒成立问题的处理方法2：恒成立思想.问题转化为对某一变量恒成立，利用多项式恒成立条件，即a0+a1x+a2x2+…+anxn=0对一切x∈R恒成立，等价于a0=a1=a2=…=an=0.

图1

3.考题真练

问题3：（2009年江苏高考第18题）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+ （y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+ （y-5）2=4.

（1）略；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

师：此题如何转化？

生10：直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，因为圆C1、C2的半径相等，所以它们的弦心距也相等.即圆心C1到l1的距离与圆心C2到l2的距离相等.

师：如何表示直线l1、l2的方程？

生10：设P（x0，y0），直线l1的方程为y-y0=k（x-x0）（k≠0），因为直线l1和l2互相垂直，所以直线l2的方程为y-y0=

师：往下如何求解？

师：漂亮！关于某个变量的方程有无数多个解的问题也可以等价转化为等式的恒成立问题.

问题4：（2000年全国高考第20题）（1）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（2）设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+ bn，证明：数列{cn}不是等比数列．

师：哪位同学来解答第（1）问？

生11：因为数列{cn+1－pcn}为等比数列，所以（cn+1－pcn）2= （cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），然后把cn=2n+3n代入，可以计算出p的值，不过运算很繁，感觉算不出来．

师：学习除学知识之外，更应学习勇于面对困难、坚忍不拔的品质．我们一起来解．

生12：因为数列{cn+1－pcn}为等比数列，所以（cn+1－pcn）2= （cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）.把cn=2n+3n代入，得［（2n+1+3n+1）－p（2n+ 3n）］2=［（2n+2+3n+2）－p（2n+1+3n+1）］·［（2n+3n）－p（2n－1+3n－1）］，即［2n（2－p）+3n（3－p）］2=［2n+1（2－p）+3n+1（3－p）］·［2n－1（2－p）+ 3n－1（3－p）］，即，解得p=2或p=3．

生12：可以用解等式恒成立的方法1来解，因为{cn+1－pcn}为等比数列，所以它的前三项成等比数列，可以求出p的值，再加以验证．由{cn+1－pcn}为等比数列，所以（c3－pc2）2=（c4－pc3）（c2－pc1）.因为cn=2n+3n，所以（35－13p）2= （97－35p）（13－5p），整理得p2－5p+6=0，解得p=2或p=3．当p=2时，cn+1－pcn=（2n+1+3n+1）－p（2n+3n）=3n为等比数列；当p= 3时，cn+1－pcn=（2n+1+3n+1）－p（2n+3n）=－2n为等比数列.所以p= 2或p=3．

（学生鼓掌）

师：回答得很漂亮！等式恒成立问题的解决一般有上述两种方法，需灵活运用.那么，如果是等式不恒成立问题应如何解决？

学生齐声回答：举反例．

师：谁来解答第（2）问？

生13：要证明数列{cn}不是等比数列，只要举个反例，如证明前三项不成等比数列就行了．设{an}，{bn}的公比分别为q1，q2（q1≠q2），则c1c3-c22=（a1+b1）（a1q21+b1q22）-（a1q1+b1q2）2=a1b1（q1-q2）2≠0，所以c1c3≠c22，所以数列{cn}不是等比数列．

师：很好！大家课后自己订正期中考试的第8题．

4.课堂小结

（1）等式恒成立问题表现形式通常有：①等式在R上恒成立；②f（x）为奇（偶）函数；③f（x）为周期函数；④f（x）有对称轴（或对称中心）；⑤数列{an}为等差（比）数列；⑥方程有无穷多个解；⑦定点、定值等．

（2）等式恒成立问题的解决方法：①特殊化思想（取特殊值，特殊到一般）；②恒成立思想：问题转化为对某一变量恒成立，利用多项式恒成立条件，即a0+a1x+a2x2+ …+anxn=0对一切x∈R恒成立，等价于a0=a1=a2=…=an=0．

（3）处理等式不恒成立的方法：举反例．

三、教学体会

本节课从一个期中考题出发引出主题——等式恒成立问题，因为从学生的认知冲突出发，一下就吸引了学生的注意力.引出主题后，顺势抛出两个问题：（1）等式恒成立问题的表现形式有哪些？（2）解决等式恒成立问题的方法是什么？通过与学生的探讨，激发思维的碰撞，引发学生的思考，教会学生用辩证的思想看待问题．在学生对等式恒成立问题有所回顾之后，给出了第一个问题，先给学生一定时间思考，当学生有了充分的思考后，通过提问的方式，不停地与学生互动，最终引导学生解决了问题，让学生参与到知识探索的过程中来．这体现了教师不仅仅是知识的传授者，也是学生学习的组织者、引导者、合作者．在解决问题之后及时作了归纳，引导学生从不同角度进行变式来得到解决等式恒成立问题的方法.当然，数学的学习，离不开解题，当同学们的思维发生碰撞后，又给出了第二个问题，对于这个问题的解决，让学生独立思考，独立计算，并最终通过学生板演、讲解的方式解决了这个问题，让学生参与到知识点发现的过程中来，并最终归纳出另一类等式恒成立问题的解决方案，即将问题转化为对某一变量恒成立，利用多项式恒成立条件．同时还提出了等式不恒成立问题的解决方案——举反例．最后根据归纳的等式恒成立的两种方法，学以致用，解决了高考中的问题，拓宽了思路，提高了学生的认知水平和解决问题的能力．

同时在高三复习时，回归教材是数学复习的有效教学．章建跃博士说过：“课本是使学生学做人做事的基本载体，脱离课本的教学不是好的数学教学．”这节课从第一个问题解决并归纳了等式恒成立问题之后，接下来从两个习题出发，探索教材中的等式恒成立问题，发现教材中有许多等式恒成立的影子，如奇（偶）函数的定义、周期性的定义、对称性的性质及等差（等比）数列的定义等，真正做到了教材是“源”，教材是“根”，体现了数学教学是从教材中来，最终回归到教材中去这一教学理念，激发学生思维的火花，让学生体会到等式恒成立问题贯穿了我们整个高中数学体系．因此，在高三复习教学中一定要熟悉教材、用活教材、拓展教材，深入钻研教材与高考真题之间的结合点，做好高三复习的有效设计，提高高三复习教学的效率.

总之，只要我们的教学不是主要依靠教师的经验，而是从学生的问题出发，从学生的实际出发，时时关注学生的表现，尊重学生的想法，满足学生的需求，为学生的思维发展创设条件，那么，我们的课堂就会焕发生命的活力，使教者爱教，学者乐学，达到有效、高效．

参考文献：

1.杨云．回归课本是高考数学复习的有效途径［J］．中学数学（上），2015（11）．F