何绪铜
练习课是数学的基本课型,怎样上好练习课,历来是数学教师的困惑和短板。前不久,在四川南充聆听了特级教师张冬梅上的《两位数乘两位数的练习与思考》一课,让我大开眼界,如饮琼浆,茅塞顿开。现将其精彩片断赏析于后,与同行分享。
【片断一】
师:同学们,今天的课堂张老师想从画画开始。(随后画出下图)
师:同学们,如果我画的是轴对称图形的一半,谁来帮我画另一半。
学生上台画:
师:如果“好人”也有一条对称轴的话,那另一半是(生:人好);“我爱你”呢(生:你爱我);“喜欢我”呢(生:我欢喜)
课件相机出示:
好人人好
我爱你你爱我
喜欢我我欢喜
师:在我们刚学过的两位数乘两位数中,也有这样的对称现象。
(板书):
63×2442×36
42×4884×24
69×6446×96
师:同学们,能写几个读音对称的算式不算什么,如果你能猜想每组两个对称的算式有什么秘密,那可不得了!
生:得数相等。
生:得数可能相等……
【片断二】
师:你们学过估算吗?(学过)那我们用估算的方法,来验证一下得数是否相等,谁来估一估?
生:63×24,我把63看作60,24看作20,那 63×24≈1200;而42×36,把42看作40,36看作40,那 42×36≈1600,这组两个算式不相等。
生:我来估 42×48,因42≈40,48≈50,所以42×48≈2000;而82×24,因82≈80,24≈20,所以82×24≈1600,这组两个算式也不相等。
生:我估69×64≈4200,46×96≈5000,也不相等。
师:他们都是用什么方法估的?(四舍五入法)发现结果(不相等)。有没有不一样的估法?
生:我是这样估的,如69×64,把69看作60,64看作 60,那 69×64≈3600;而46×96,把46看作40,96看作90,那46×96≈3600,它们相等。同样,63×24≈1200,42×36≈1200,它们也相等;42×48≈1600,84×24≈1600,它们还是相等。所以,我觉得对称的两个算式得数相等。
师:这位同学把两个数往小估,结果相等了。那你现在觉得要知道两个算式的得数是不是相等,用估算来判断,行吗?
生:不行。
师:需要怎么算?
生:笔算。
(学生笔算)
师:现在有答案了吗?
生:它们的得数是相等的。
小结:两位数乘两位数,两个“对称”算式的积相等。
师:像这样,根据几个例子得出一个结论,叫做不完全归纳法。
【片断三】
讲故事:1962年,华罗庚给中学生讲了一个“公鸡一天一把米的故事”,有人买了一只公鸡,他第一天给公鸡喂1把大米,第二天也给公鸡喂1把大米,第三天还是给公鸡喂1把大米,这样一直喂到了100天,公鸡的心里会得出什么结论?
生:公鸡想啊,主人一定每天都会给我1把大米。
师:公鸡是用什么方法得出结论的?(不完全归纳法)结论正确吗?(正确)可是,第100天主人家来客人了,主人不但没给公鸡1把大米,还把公鸡杀了招待客人。
师:公鸡的结论还正确吗?(不正确)
师:由此看来,不完全归纳法有时是正确的,有时是不正确的。听了这个故事,你对刚才的结论,有怀疑了吗?(有点)怎么办?
生:举例子。
师:只要找到一个反例,就能证明这个结论是错误的。
(学生举例子验证)
生:我找到了反例12×12和21×21。(教师板书)
师:不计算,用智慧的眼睛来判断得数是否相等?
生:看它们的个位,12× 12,个位2乘个位2等于4,积的个位应是4;21×21,个位1乘个位1等于1,积的个数是1,所以不等。
师:还有别的判断方法吗?
生:看它们的十位,10× 10=100,20×20=200,所以不相等。
生:精算加估算,12× 12=144,而21×21估算等于400多,所以不会等。
师:我再举一个例子78× 54和45×87,有没有办法,用眼睛算?
生:估算,80×40≈3200,70×50≈3500,不相等。
生:看个位,8×4=32,5× 7=35,不相等。
师:有了反例,说明什么呢?
生:刚才的结论是错误的。
【片断四】
师:为什么张老师刚才举的例子都是相等的呢?难道张老师不是随便举的吗?这里面是不是藏着什么秘密呢?
(同桌间互相交流)
生:我发现63×24的十位相乘6×2=12,个位相乘3× 4=12是相等的。
生:我也看出来了42×48的十位相乘2×8=16,个位相乘4×4=16也是相等的。
生:我发现78×54的十位相乘7×4=28,个位相乘8× 5=40,不相等。
师:看来,对称算式的积相等是有条件的。
生:十位乘积等于个位乘积的两位数乘两位数,“对称”的两个算式的积才相等。
师:如果接着继续举例子,又该举什么样的例子呢?
生:举十位乘积等于个位乘积的两位数乘两位数的例子,来验证刚刚得出的结论。
【感悟】
一堂本无趣且单调的计算练习课,在张老师的课堂上变得如此有趣和灵动。整节课,张老师没有走估算——笔算——验算——变式算的流程,没给学生计算任务指标,没提计算速度方法,但学生整节课都在算,有人算得面红耳赤也不停止,有人一节课算了20多道题,几乎全体学生都主动自觉地参与到了估算、笔算、验算的练习中,“要我算”真正变成了“我要算”“我想算”。计算训练的目的达到了,学生的计算技能悄然生长了,这一切都发生得那么自然无声,这不得不让人叹服,让人刻骨铭记。仔细品味,精彩的背后,源于一个“趣”字,“趣”源于一个数学上的计算规律,“规律”的熠熠生辉源于张老师深邃的数学眼光和卓越的数学智慧。两位数乘两位数的对称算式中,除诸如15伊51、23伊32类的回文算式外,具有相等规律的仅“12伊42、12伊63、12伊84、13伊62、13伊93、14伊82、23伊64、23伊96、24伊63、24伊84、26伊93、34伊86、36伊84、46伊96”这14个,张老师能将之捕获到,足可见其数学素养之深厚。为让该数学规律更具诱惑力,张老师以对称的树叶、读音对称的文字为诱饵,巧妙设计了“片断一”,引出对称算式,让猜想“算式规律”闪亮登场,一开课就套住了学生的心,达到了“在趣中练,自然无声”境界。
说到计算练习课,师生的第一反应是大量计算、反复训练,只需要熟练掌握方法,形成技能技巧,不需要多少思考。因之“思考”就成了计算练习课的软肋。张老师盯住软肋,设计了核心问题“两个对称的算式,得数相等吗?”围绕核心问题,张老师按照“估算——出现矛盾结果——笔算——得出结论;讲故事——学生起疑——举反例——推翻结论;回头看——悟出规律”的流程展开教学,遵循了“猜想——验证——举反例——揭本质”这一概念形成的规律。整节课,学生的思维始终都处在“产生矛盾——解决矛盾,实现平衡;质疑结论——产生新矛盾,打破平衡;回头看——找到规律,实现新平衡”的状态中,经历着反复的折腾,学生的内心有初试成功的兴奋,有推翻结论的失落,有柳暗花明的狂喜,一波三折,学生的心里一定会烙下了思考的痕迹。整节课,教师很少讲,有的只是偶尔的提醒,但为了证明“两个对称的算式,得数相等”这一猜想,学生主动思维,口算、笔算、验算并用,既沟通了算法,优化了知识结构,还从中学到了如何思考、如何找本质,促进了思维的发展。
张老师通过“片断三”,给学生精心布置了一个“山重水覆疑无路”的场景,诱发出了学生的“悱愤”状态,让学生的思维在失落挫败和不甘心中煎熬。这时,张老师出现了,一句“为什么张老师刚才举的例子都是相等的呢?难道张老师不是随便举的吗?这里面是不是藏着什么秘密呢?”看似问话的问题,学生再次汇聚智慧,聚集数据本身,终于脑洞大开,恍然大悟,原来对称算式的积相等是有条件的,要在“十位乘积等于个位乘积相等”时候才成立。规律由学生自己发现,结论由学生自己得出,学生享受到了大彻大悟的快感,这种快感将是让学生热爱数学、继续思考的动力。