对比解读教材引领有效教学
———以《有余数除法》教学为例

2016-04-02 03:41徐建丽
小学教学设计(数学) 2016年6期
关键词:除数竖式小棒

徐建丽

解读教材的方法众多,笔者认为,把同一版本修订前、后的教材进行对比解读,找出变化之处,厘清改动本意,探求教学启示,也是非常有价值的。本文以人教版教材中《有余数除法》一课的教学内容为例,谈谈如何通过对比解读教材来引领有效教学。

一、对比解读,关注变化

仔细研读新旧教材关于“有余数除法”教学内容的编排,发现主要在以下五个方面发生了较大变化。

1.调:旧教材《有余数除法》是三年级上册第四单元的教学内容,现在调到了二年级下册第六单元。

2.分:旧版教材中,这一单元的教学安排5个课时的内容;而新版教材中,这一单元的教学安排了7个课时的内容,具体如下:

2001年 2014年内容 课时 内容 课时表内除法竖式的意义 1 认识有余数的除法 1有余数除法的竖式、余数的含义 1 余数和除数的关系 1有余数的除法练习课 1 认识除法竖式 1有余数除法的应用题 1 用竖式计算有余数的除法 1有余数除法应用题练习课 1 解决问题(一) 1解决问题(二) 1小小设计师 1

新教材编排有较大的变化,把认识余数的除法、理解余数和除数的关系分为2课时。第1课时着重于理解有余数除法的意义,第2课时着重理解余数与除数的关系,第3、4课时才真正学习有余数除法的计算方法。除法竖式学习从第1课时调整到第3课时。

3.换:旧教材的情境采用的是关于“摆花盘布置会场”的主题(图1),新教材以“摆图形”、“分草莓”的活动导入(图2、图3)。

图1

图2

图3

4.补:旧教材中在认识余数意义之后的“做一做”为两道式子计算,在“理解余数与除数的关系”之后的“做一做”是三道算式辨别题(图4)。

图4

新教材中的在“认识余数意义”之后的“做一做”是“圈一圈,填一填”,学生通过圈、填、写,理解有余数的除法算式。在理解余数与除数的关系之后的“做一做”是一道开放题,用一堆小棒摆五边形,探究余数可能出现的情况(图5)。

图5

5.拓:旧教材的应用练习题以有余数除法的计算为主,形式以填空、竖式计算、判断改错、简单问题解决为主。新教材除了以上内容,还拓展了“周期问题、租船问题、租房问题”等,拓宽了有余数除法应用研究的时空。

二、分析原因,厘清意图

新教材对旧教材做了五处改动。为什么会有这样的改动?改动背后隐藏着怎样的理念与意图呢?

1援新教材更加注重意义本质。

新教材将本节课从三上移到二下,让学生在学完《表内除法》后接着学习《有余数除法》——通过比较“平均分分完了与平均分后有剩余”的不同,突出了余数的本质意义。教材中没有出现“有余数除法”的严格定义,而是采用直观描述的方法进行介绍,以问题“余数表示什么”引起思考。对此,我们有必要了解什么是有余数除法。

“有余数除法”的概念在《小学数学基础理论和教法》中被定义为:“已知两个数a、b(b是自然数),要求两个整数q、r,使q、r满足以下条件:a=bq+r,r<b。这样的运算叫做有余数除法。一般记作:a÷b=q…r,读作:‘a除以b等于q余r’。”理解有余数除法的同时,不得不提起与有余数除法直接相关的一个定理——整除定理:设a、b是两个给定的整数,且b≠0,如果存在唯一的一对整数q与r,满足a=bq+r,0≤r<a。那么,b|a的充要条件是r=0。如此看来,整除与有余数除法这两个概念是并列关系而不是包含关系,不能把整除看作特殊的有余数除法(余数为0)。

2.新教材更加注重操作体验。

过去,对有余数除法的教学往往倚重于计算,而不是把重点放在意义的理解上。新教材将教学内容在课时上一分为二,“余数的含义”以及“余数和除数的关系”分成2个课时学习,除法竖式学习从第1课时调整为第3课时,在余数意义理解之后再学习。这样的编排,突出了对余数除法意义的理解。

新教材比旧教材更加注重操作体验。旧教材给学生的感觉是有余数除法就是计算题,只要会计算就可以了,显然这样的理解是有失偏颇的。新教材非常注重学生操作活动的设计并提供了大量的素材,通过摆图形、分草莓、分铅笔等多个、多次分物活动,引导学生把直观形象与抽象概括相结合,采取边说边操作,边讨论边操作等方式,让手、脑、口并用,获得数学活动经验。大量操作活动的设计,不仅帮助学生亲身体验,积淀直接的抽象经验和归纳演绎的经历,而且更好地实现了横向数学化。

3.新教材更加注重难点突破。

有余数除法的结果涉及“两个单位”,这是正确理解有余数除法意义的一个难点。相比旧教材,我们会发现新教材有意识地让学生结合具体情境,通过直观解释,帮助学生克服单位填写的困难。新教材中有余数算式的出现,大多是“情境——操作——算式[□÷□=□( )…( )]”的模式,单位已经标注,通过填写单位名称和答案,引导学生在多次关注中加深理解余数除法的意义。

三、理解变化,有效教学

1.重视有余数除法的教学价值。

在小学教学中,有余数除法是常见的运算,它不仅存在于多位数除法的计算过程中,而且应用于解决周期问题中。初等数论的证明中最重要、最基本、最常见的工具是有余数除法,也称为除法算法。有余数除法的重要性不只是体现在算术计算中,而且也是数论证明的重要工具。所以,有余数除法不能只作为计算的一部分内容,只要求学会算题,而应该充分重视其价值,理解其意义。

2.经历数学化过程,发展建模能力。

“有余数除法”是小学数学教学中数学化的经典课题。弗赖登塔尔说:“用数学方法把实际材料组织起来,这在今天叫做数学化。”将非数学的内容数学化,就是将这些内容组织成合乎数学准确性要求的结构。

在课堂教学中,教师可以通过苹果、草莓、小棒、豆子等实物,来帮助学生理解余数概念。

【片断一】

师:请大家把9个苹果平均放到3个盘子里,先动手分一分,再用算式表示,并解释算式的意义。

生:(动手分后)9衣3=3。

师:(1)把9个苹果平均放到2个盘子里,动手分。能否用算式来表示呢?(2)将9个苹果平均分到4个盘子中,动手分,用算式表示,并解释意义。

生:9衣2=4多1,9衣4=2多1。

师:我们通常用这样的算式来表示,9衣4=2…1。谁来解释这个式子的意义?

要分的苹果数 盘子数 每个盘子中的苹果数 剩余的个数

师生归纳余数的概念。

上述片断的教学核心,在于帮助学生经历现实问题数学化的过程,获得数学建模的直接经验和体验,完成建模过程,即现实问题——数学问题——数学问题的解——现实问题的解。

3.寻找规律,理解规则。

余数为什么要比除数小?教师通常引导学生这样思考,以分物品的活动为例,“如果余数比除数大了就还可再分”。其实,这样解释既不符合生活现实,也不符合数学逻辑。如果没有规定余数要比除数小,那么就会有不同的计算结果,这在数学中一般是不允许的。因此余数要比除数小,是为了保证计算结果的唯一性。如何让学生理解这一规定呢?

【片断二】

师:用8根小棒摆正方形,能摆几个?

生:摆2个。8衣4=2。

师:先想一想,有9、10、11根小棒的话,可以摆几个正方形,还剩几根小棒?再用算式表示。

生:9衣4=2…1,10衣4=2…2,11衣4=2…3。

师:观察以上三个算式,你能接着写出下一个算式吗?

生:12衣4=2…4。

师:你是怎么想的?

生:被除数增加1,余数也增加1。

师:是这样吗?有不同的想法吗?

生:12衣4=3,没有余数。

师:为什么余数没有了?

生:余数有4根,就可以再摆一个正方形了(用12根小棒操作一次)。

师:照这样的规律继续往下写,你能写出哪些算式呢?

生:13衣4=3…1,14衣4=3…2,15衣4=3…3。

师:请观察以上6个算式,有什么规律?关注余数的变化,你发现了什么?

生:除数都是4,余数都是1、2、3。

生:余数都比4小。

师:真的吗?交流一下,这是为什么?

生:余下如果有4根,就可以摆成一个新的正方形。

师:用一堆小棒摆五边形,如果有剩余,可能会剩几根小棒?

……

上述片断的教学核心,在于学习的素材是两组各3个有联系的除法算式,算式除数、商相同,相似度高,学生自然而然会把注意力集中到被除数有序变化,余数有序变化,很快发现余数周期性变化的规律。学生发现了这个变化的周期,也就容易理解余数要比除数小了。

综上所述,通过对同一版本的前、后修订教材的对比解读,我们可以比较准确地把握教材的设计意图,在此基础上再进行一系列的分析思考,如素材是否需要调整,是否需要补充,怎样对教材素材进行二次加工、开发等,不仅能够促使我们合理有效地用好、用活教材的素材,抓住数学本质,而且可以通过大胆地对教材的呈现方式进行适当加工、改造、优化或重构,做到创造性地“用教材”。

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