看透“简单”背后的道理———关于《整十整百数乘一位数的口算和估算》同课异构带来的思考

蒋守成（特级教师）

《整十整百数乘一位数的口算和估算》是苏教版小学数学三年级上册第一单元第一课时的内容，这个课时中既有整十整百数乘一位数的口算，又有接近整十整百数乘一位数的估算。这样既能使学生已经掌握的表内乘法得以自然延伸，又能使整十整百数乘一位数的口算与相应的估算有机融合，为学生自主探索并理解两三位数乘一位数的笔算方法打下基础，铺设台阶。因此教材十分重视通过问题情境、动手操作、交流讨论等数学活动，让学生达成两个方面的目标：一是明晰算理掌握算法，并能正确计算；二是在运用口算和估算解决问题的过程中提升口算和估算的思维价值，全面提升学生的运算能力。

我们都知道运算能力不仅仅是会算和算正确，还包括运算本身的理解，如运算对象、运算的意义、算理等。而运算的形式和方法包括口算、计算、估算和验算。口算在明晰算理的过程中提升了学生的思维水平，估算在对运算过程的加工改造和对运算结果的预测估计过程中蕴含着复杂的思维活动，对培养学生的逻辑推理能力具有不可忽视的作用。那么如何通过看似“简单”的口算和估算教学，实现形成计算技能提高运算能力和发展数学思维两个目标，全面提升口算和估算的思维价值？金坛区华罗庚实验学校的朱敏和金坛区西城实验小学的蒋菊妹两位老师基于不同学情，对于不同侧重点的关注，进行同课异构，他们通过有价值的数学学习活动设计，让学生在理解口算算理的基础上探究算法；在估算过程中理解估算的意义、发展估算能力和估算意识，从而提升其思维价值，他们的设计从不同角度给我们以启发与思考。

一、基于算理探究算法，看透简单算法背后的道理

学习一种数学运算，既要掌握其算法，更要理解其算理，尽管归结于具体步骤与程序的算法，在执行运算时并不一定还要考虑其算理，但得出算法的过程却离不开算理。对于整十整百数乘一位数的口算教学，我们都有这样的教学经验:让学生得出20×3和200×3的正确答案，难度并不大。20×3，直接算2× 3=6，再在 6后面加一个 0；200×3，直接算2×3=6，再在6后面加两个0……如此操作性的方法，简单易记，学生也喜欢。课堂上只要一个学生提到这一种方法，全班学生基本都会认同。于是学生对整十整百数乘一位数的口算的技能也突飞猛进，有了良好的成功体验。这样的教学看起来似乎没什么问题，但大家也都清晰地意识到学生很快接受这种操作技能性的方法，而真正能体现算理的方法“2个十乘3，得6个十是60；2个百乘3，得6个百是600”的方法被学生抛弃了。这样的教学少了算理的理解和体验过程，只关注口算的技能就背离了本节课的目标和价值，我们如何看透直接算2×3=6，再在6后面加一个0这样“简单”背后的道理，让简单算法和算理相融合呢？基于学生的认知经验紧扣算理展开和算法的探究，朱老师和蒋老师为我们展示了不同的一面。

1.基于算法追寻算理。

教学研究表明，学生通过自身活动所获得的知识远比被动接受教师的传授理解的透彻，朱敏老师根据学生已有的数学经验，设计主题化问题情境，在基于问题解决的基础上设计数学活动，启发学生联系已有的知识经验，主动建构算法。经历有方法到方法简，从算理明到方法通的过程，形成了良好的认知结构系统。

活动一“写算法”。朱老师在学生解决植树多少棵时，让学生独立思考，自己想办法，把自己解决问题的方法写在作业单上，然后进行交流。在交流中呈现出了两种不同的方法。第一种算法，20×3就是3个20相加，20+20+20=60（棵）学生用学过的加法来解决乘法，问题解决了，但口算乘法的目标没达到；第二种算法，20×3先算2×3=6，再在6的后面填上一个零就是60，算法有了但算理不清，学生不清楚为什么要这样算。

活动二“摆小棒”。朱老师追问学生为什么添一个零就行了呢，让学生摆一摆小棒，说一说其中的道理。学生通过摆小棒，明白植一行要2捆，3行就要3个2捆，是6捆，所以是60棵；进一步思考得到20×3是2个十乘3，得6个十，就是2×3得6后面加一个0是60。这样不仅知其然而且还知其所以然，实现了有意义的知识内化。

活动三“题组练习”。在学生明晰算理的基础上朱老师精心设计三个题组的练习，引导学生主动地迁移之前的“整十数乘一位数”的学习经验，尝试类推到“整百数乘一位数”的口算。师生之间两次分层次的交流活动各有侧重，一是进一步明确了整十数乘一位数与整百数乘一位数口算方法内在的一致性，并对易错的习题从算理上进行了点拨；二是通过纵向的比较和联系，水到渠成地归纳出这一类口算的算法，促进学生形成系统化、结构化的思维方式。

2.明晰算理优化算法。

我们知道，算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的，算法往往是显性的，它们相辅相成，算理的探讨有助于学生掌握算法。蒋菊妹老师创设购物情境，列出数量关系。通过摆小棒活动帮助学生理清算理。活动呈现三个层次。

第一个层次，根据数量关系和已有经验摆。在摆的方法中体会数量关系，为理解口算算理提供经验。

第二个层次，为什么这样摆（3个20），根据像这样“每堆2个十，摆了3堆”来说说是怎样算的吗？学生基于操作明晰2个（十）×3=6个（十）也就是60，所以2×3=6，20×3=60。

第三个层次，基于算理掌握算法。蒋老师在学生明晰算理的基础上安排了两道整百数乘一位数的变式练习，让学生在比较中自主发现并总结整十、整百数乘一位数计算方法的共同特点，主动建构内化算法。

在数学活动中蒋老师将单调的算式放到具体情境中，赋予每个算式“活”的生命；将抽象的算理融合到具体情境中，赋予计算“活”的灵魂。在理解算理时，通过简单易行的摆小棒活动进行自主探究，使学生在自主探究中感悟和理解算理，形成算法，真正在过程中提升学生的运算能力。

二、聚焦问题激发需求，体验估算解决问题的价值

估算主要指在计算或者测量中，无法或无需精确计算时所采用的一种数学方法。它不仅是日常生活中的一种常用的计算方法，它更是一种思维的方法。因此在教学中不能满足于仅让学生掌握估算的方法，而是要通过估算教学，理解估算的意义，体会估算的作用，从被动估算过渡到自觉估算、自主估算，从而增强估算意识，提高估算能力。两位老师都选择学生身边的实际问题作为教学素材，以问题解决为主要载体，从不同点切入，用不同的路径，实现让学生在解决实际问题中增强估算意识，提升估算能力，体验估算的价值。

1.在问题解决中培养估算意识。

所谓估算意识，就是当人们面对一个实际问题时，不急于计算准确结果，先采用适当的方法估计得数的大致范围，以及对他人的结果自觉地用估计的方法判断是否正确，并逐步形成习惯。朱老师基于估算意识的培养，在估算教学这个板块，以问题为核心设计教学活动，着力于让学生经历估算方法的选择过程以及用估算方法解决问题的思考过程，实实在在地让学生明白“为什么要估算”、“怎样估算”以及“估算有什么好处”、“估算时要注意什么”等基本问题，在问题解决中培养学生的估算意识。

“为什么要估算”。朱老师设计了“带200元买4箱西瓜够不够”的问题，学生依据之前的学习经验进行思考，却发现还不会笔算“48×4”，只会口算“50× 4”。在这样的认知冲突之下，教师不失时机地提出“你能不计算就能解决问题”的目标驱动，由此，学生产生估算需要，感受到估算的作用，回答了学生内心“为什么要学估算”的问题。

“怎样估算”，学生在具体用估算解决这一问题的过程中，遇到的最大困难是对估算结果的意义不理解，部分学生在分析推理“到底够不够”存在思维上的障碍。在这一环节中，朱老师先呈现资源，把48估成40和估成50结果判断都够的，让学生比较这两种估法，你们认为谁的估计更合理？在此基础上进一步讨论，为什么估成了50，正好得出了200元，却能判断“带200元是够的”呢？让学生不仅知道估的方法，还能用自己合情合理地推理来说明为什么要这样估。

然后通过问题解决，学生明白在生活中有时不需要计算出准确结果，只要对结果进行合理地估算，就能快速地解决问题，体会到“估算的好处”，同时也自我总结出“估算时我们要注意些什么”等问题。

2.在系统整合中提升估算能力。

三年级的学生对估算并非一无所知，之前，在解决整数加减法的一些实际问题中，他们已初步积累了一定的估算经验。因此蒋老师从已有加法估算经验入手，加大对估算教学的力度，创造性地设计系列活动，经历了“调动经验，迁移方法，拓展思辨，完善策略”的过程，层层推进，引导学生灵活估算，让估算教学不仅仅停留在生硬的模式化低层次上，学生的估算意识在逐层的“有意义的估算问题”中潜移默化地得以增强。

蒋老师调用已有加法估算的核心经验，为乘法估算服务。并抓住乘法和加法估算的共同特点，在估算中都要根据问题的需要，灵活选择整十数进行估算，并进行推理，从而做出准确的判断。所以“估大”还是“估小”的选择成为加法到乘法的经验产生正迁移，减少了学习的障碍。这个经验随着学习的进程学生逐步体会到估算过程要与估算结果兼顾。这就要求我们老师像蒋老师那样，在估算中既重视估算过程中方法的选择与指导，尊重估算方法的差异性，鼓励估算方法的多样化，又要承认估算结果与精算结果的不一致，让学生既体会到估算的简洁高效，又明白在某些特定问题上估算的局限性。

例如：在综合运用，完善估算策略活动中，蒋老师呈现了教材第3页的第7题，并作了适度的延展。

甲城到乙城三种不同火车的票价如下表：

普通列车　特快列车　动车组列车每张198元　每张312元　每张405元

蒋老师买3张同样价格的火车票，付给售票员1000元。

问题一老师买的是哪一种？学生通过估算很快选择出特快列车票每张312元接近300元，3张比900元多一些；所以买的应该是每张312元的特快列车票。

问题二如果特快列车每张是340元，1000元买3张还够吗？学生通过估一估算一算发现，虽然这个问题估算过程是一样的，估算结果也是一样的，但实际1000元不够买3张。让学生体会到在特定数据下估算的局限性，需要我们做出更精确的判断。

由此蒋老师提出，同学们在估算出300×3=900后，还要考虑12×3是不是小于100，才能确定1000元够还是不够买3张312元的票。所以在解决问题的过程中需要对估算过程进行比较，还要对估算结果进行辨析，并能解释估算的全过程，这一过程既是学生在总结估算策略的过程，实质上是估算经验积累的过程。逐步发展了学生的估算意识和策略。

基于不同的思考、基于不同班级实际，我们在教学中就会有不同的切入点、不同的着重点和不同的课堂教学架构，朱老师重在口算板块的算理和算法的融合；蒋老师重在对估算教学的系统整合，两节课都给我们思考和启发。如果从重构的角度来思考，本课有两个知识点，整十整百数乘一位数的口算和估算，如何把这两个有联系的内容构建一个整体，形成一个系统，从整体的视野下把握本质。我们可以从“数”出发，借“数”助“算”、以“数”验“算”、用“算”促“估”，从数到算到估形成一个化零为整的新系统。也可以基于班级特点，将例题1、例题2和练习两课时，进行口算和估算专题教学，做到适度拓展，有机联系，分中有合。当然肯定还有更多更好的课堂架构视角，期待更多的人一起来实践、来探讨。