整式加减有高招

□朱元生

整式加减有高招

□朱元生

整式的加减是一种非常重要的运算，也是学好初中数学的基础.整式加减的实质就是“去括号”和“合并同类项”法则的综合运用.现就整式加减各个环节的解题高招，分类阐述如下.

一、两同两无关——识别同类项

例1指出下列多项式中的同类项.

分析：（1）与－yx3，系数及字母的排列顺序虽然不同，但它们所含的字母及相同字母的指数分别相同，故为同类项；与－2xy3，系数不同，但它们所含的字母及相同字母的指数也分别相同，故为同类项；3与都不含字母，它们是常数项，也是同类项；

解：（1）与－yx3是同类项；与－2xy3是同类项；3与是同类项.

点评：同类项不仅要求所含字母相同，而且相同字母的指数也应分别相同，与字母的排列顺序无关，与系数无关.另外所有的常数项都是同类项.

二、一相加二不变——合并同类项

合并同类项，就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

例2合并下列多项式中的同类项：

（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy；

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－－1＋5a2b2.

分析：首先要找出同类项，然后再按照法则进行合并.在多项式（1）中，8x2y和－8x2y是同类项，它们合并的结果为0；－4xy2和3xy2是同类项，它们合并的结果为－xy2；－2xy和5xy是同类项，它们合并的结果为3xy.在多项式（2）中，a2b2，－7a2b2，5a2b2是同类项，它们合并的结果为－a2b2；2ab，是同类项，它们合并的结果为

解：（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy

＝（8x2y－8x2y）＋（－4xy2＋3xy2）＋（－2xy＋5xy）

＝－xy2＋3xy.

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－ab－1＋5a2b2

＝（a2b2－7a2b2＋5a2b2）＋（2ab－ab）－1

＝－a2b2－ab－1.

点评：合并同类项的依据是加法的交换律、结合律，乘法的分配律和有理数的加法法则.在合并同类项时，我们可以采用标记的方法，在同类项的下方标出相同的符号，这样出现问题也容易查找根源.

三、负变正不变——运算更简便

去括号的法则是：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号内的各项都要改变符号.

例3 先去括号，再合并同类项：

（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）；

分析：分别按照去括号和合并同类项的法则进行运算.

解：（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）

＝5a2－2a－3ab＋b2－5a2＋ab

＝－2a－2ab＋b2.

＝（6xy－6x）＋（－6xy＋2y－1）

＝6xy－6x－6xy＋2y－1

＝－6x＋2y－1.

点评：当括号外面有因数时，要用这个因数遍乘括号内的各项，然后再根据去括号法则去掉括号.特别要注意，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号内的各项都要改变符号，如果有同类项，还应合并同类项.

四、先化简再求值——事半功倍

例4先化简、再求值：

（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a），其中a＝－2.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]，其中x＝

分析：整式的加减实质上就是“去括号”和“合并同类项”法则的综合运用.有括号，要先去括号，有同类项，再合并同类项，最后代入求值.

解：（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a）

＝4a2－3a－2a2－a＋1＋2－a2－4a

＝a2－8a＋3.

当a＝－2时，原式的值为（－2）2－8×（－2）＋3＝23.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]

＝4xy－（x2＋5xy－y2）＋（x2＋3xy－2y2）

＝4xy－x2－5xy＋y2＋x2＋3xy－2y2＝2xy－y2.

点评：化简实质上就是通过去括号和合并同类项，把繁琐的式子化成最简形式，这样再求值就能收到事半功倍的效果.

五、整体代换——方法独特

例5 （1）已知a2＋2a＋1＝0，试求2a2＋4a－5的值.

（2）已知a2＋bc＝14，b2－2bc＝－6，试求3a2＋4b2－5bc的值.

分析：（1）根据现有知识，无法求得a的值.观察所求式与已知式，可将它们适当变形，再整体代入，比较简便；

（2）由已知条件，显然无法直接求得a，b，c的值，这时可将待求式3a2＋4b2－5bc变形，用已知式表示为3（a2＋bc）＋4（b2－2bc），再把已知条件整体代入，问题则化难为易.

解：（1）由a2＋2a＋1＝0，可得a2＋2a＝－1.

则2a2＋4a－5＝2（a2＋2a）－5＝2×（－1）－5＝－7.

（2）3a2＋4b2－5bc＝3（a2＋bc）＋4（b2－2bc）＝3×14＋4×（－6）＝18.

点评：代数式的条件求值有较强的灵活性和技巧性，解题时往往要采用一些特殊的方法和技巧，而“整体代换”则是条件求值最常用的方法之一.根据题目的结构特点，寻求已知条件与待求式之间的内在联系，巧妙代换，会使问题化难为易.

六、特殊值代换——别有洞天

例6 若（3x＋1）4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，试求a－b＋c－d＋e的值.

分析：由已知条件难以求得待求式中字母的具体数值，也就无法求得代数式的值，但是我们可以根据条件，在取值范围内赋予字母特殊值，代入计算，会使问题变简捷.

解：取x＝－1，

代入可得[3×（-1）＋1]4＝a·（－1）4＋b·（－1）3＋c·（－1）2＋d·（－1）＋e.

整理可得：a－b＋c－d＋e＝16.

点评：这种根据条件在取值范围内赋予字母的特殊值，再代入计算的方法，也可谓匠心别具.

其实，条件求值的方法和技巧还有很多，只要大家用心体会，相信随着知识的不断积累，同学们定会掌握越来越多的条件求值的好方法.