类比教学法在函数教学中的应用

唐乃洋

【摘要】类比学习法是数学教学中的有用方法，它符合学生的认知规律，是学习新知识的阶梯。正比例函数、一次函数、二次函数类似的知识点很多，不论是新授还是复习，用类比教学法，是深刻理解它们之间联系和区别的最有效方法。

【关键词】研究 方法 类比

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0139-01

类比方法是学生学习新知识一种思维方法，它可以帮助学生理解知识点的概念、图像、形式、性质等，达到理解它们之间的联系与区别的目的。这样既可以加强学生快速掌握新知识，又有利于培养学生良好的思维品质。

所谓“类比教学”，就是对有相似之处的知识进行比较，看看它们有哪些相同点和不同点，并且通过它们的相似点来类比新知识，特别是新旧知识有相似联系的，如果不反复地归类比较，指出知识间的异同，认清它们的本来面目，就有可能混淆，作业就会出错。我们知道越容易混淆的知识，放在一起学习，反而不会混淆，更会进一步掌握新知识。下面我以一次函数与二次函数为例来谈谈类比法在数学教学中应用。

在学习数学知识时，对新知识运用类比方法学习，能达到温故而知新，深刻理解、增强记忆的目的。

在学习正比例函数、一次函数、二次函数时，我先让学生回顾已经学习过的函数研究方法，来学习后一个函数，比较它们的系数、取值范围和解析式的不同，明确在运用时的注意事项。让学生认识到它们的研究方法都是：特殊到一般、数形结合、分类讨论。研究内容都是：图像特征（形状、位置、重要的点）、性质（画图、观察图像）。

1.函数表示方法类比

我们在初中阶段课本介绍的函数表示方法，一般是：（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。（3）图像法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2.一次函数、二次函数特例类比

把一次函数和二次函数特例放在一起进行类比，一是符合学生的认知规律，从简单到复杂，二是让学生了解它们的研究方法，为学习y=kx+b（k、b是常数，k≠0），y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）打下基础。

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0），当b=0时，y=kx+b即y=kx，一次函数就变成了正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

分类画图，观察图像：k>0，图像经过第一、三象限；k<0，图像经过第二、四象限，b>0，图像经过第一、二象限；b<0，图像经过第三、四象限。

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的特例是y=ax2（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。

分类画图，观察图像：对称轴、顶点坐标、开口大小、开口方向、增减性。

3.二次函数解析式类比

正比例函数、一次函数解析式都是一种表达形式，反比例函数有三种表达形式，二次函数也有三种表达形式，学生最容易混淆，不知道什么情况用什么表达式好。我们在上课时要把二次函数的三种表达式放在一起，让学生进行类比，并指出它们的运用点。二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），一般是知道三点坐标，就可求出系数a，b，c。顶点式：y=a（x-h）2；+k，抛物线的顶点P（h，k），知道顶点坐标和图像上一点的坐标就可求出二次函数的解析式。交点式：y=a（x-x1）（x-x2），仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线 。

4.画图方法类比

不论是正比例函数、一次函数、反比例函数还是二次函数，画图方法都是描点法，画图的一般步骤都是：列表、描点、连线，所以完全可以把它们放在一起进行类比，学生也不容易忘记。当然还可以平移作图，例如一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像，就可以通过平移y=kx的b单位得到。y=ax2（a≠0，a是常数）沿x轴平移h个单位得到y=a（x-h）2，把y=a（x-h）2沿y轴平移k个单位就得到y=a（x-h）2+k的图像。

5.性质类比

性质类比，我们可以对函数解析式中的关键系数进行分类研究，然后让学生从图像上观察它们所具有的性质。

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

一次函数y=kx+b（k是常数，k≠0），它的图像是经过（0，b）和（-■，0）两点的一条直线。直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。当k>0时，图像经过第一、三象限；当k<0，图像经过第二、四象限，b>0，图像经过第一、二象限；b<0，图像经过第三、四象限。

二次函数可以分类进行讨论，用列表法对a>0，a<0时，它们的图像、增减性、最值情况进行比较，从而让学生在类比中，更加清醒地认识它们的性质。

6.方程与函数关系的类比

任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以一次函数可以转化为：当y= 0时，求相应的自变量的值。从图像上看，就是求直线y=ax+b与坐标轴的交点。同样道理，当y=0时，二次函数就变为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0。 当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。当Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

7.对称轴类比

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴，不是在y轴的左侧就是在y轴的右侧，所以我们可以把它们放在一起进行类比。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）。

不论是一次函数还是二次函数，它们的知识点总是与图形相对应，我们在学习二次函数的时候，一定要注重数形结合，才能让学生深刻地理解函数知识。我们在进行类比时，可以横向类比，也可以纵向类比，只要新旧知识有类似之处、有易混易错之处，都可以进行类比，都能加深学生印象，类比方法在复习总结中作用更大。