一堂散发数学思想的习题课

余丽

去年有幸参加了区教研室组织的《一题一课，自主编题》的课堂教学评比活动，也幸运的获得了区一等奖的荣誉，现在把对这堂课的设计和反思在这里和大家分享及交流。

这是一道初一的阅读材料题，题目是：

阅读下面的材料：

1×2=（1×2×3-0×1×2），

2×3=（2×3×4-1×2×3），

3×4=（3×4×5-2×3×4）， 由以上三个等式相加，可得

1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20

根据以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= （结果可以不化简）

（3）模仿上面的材料，试计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12的值（写出过程）

由于我面对的学生是民工子弟，基础不太好，因此课堂的设计我想到了由浅入深。

课例展示：

1.复习巩固

师：我们已经学过了有理数的混合运算，在遇到比较复杂的运算题时，我们通常会运用一些运算规律和技巧简便运算，比如分配律，结合律等，当然还有一些题目需要我们寻找其中的规律，从而解决问题。现在，请同学们做这样一道计算题：

学生：第1小题可以去括号，有些数可以正负抵消。

师：非常好

学生：第2小题可以提取5倍，然后把括号里的数相加，也可以正负抵消一些数。

通过这两道题让学生体会互为相反数的项可以抵消的规律，以及逆用乘法分配律可以简便运算。

2.引入

让学生计算：

（1）1×2 （1×2×3-0×1×2）=

（2）2×3 （2×3×4-1×2×3）=

（3）3×4 （3×4×5-2×3×4）=

师：观察以上3小题左右两边的运算结果，你能得出什么结论？

学生：左边和右边的结果相等

学生经过思考得出：

1×2=（1×2×3-0×1×2）

2×3=（2×3×4-1×2×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）

由以上3个等式相加可得：

1×2+2×3+3×4=（3×4×5-0×1×2）=×3×4×5=20

师：三个等式的左边是两个连续自然数的乘积，右边是连续三个自然数乘积组成的两项的差。右边相加后提取，括号里的项依次相加，正负项抵消后，只剩下最大项减最小项。

3.利用“裂项相消”规律解决问题

根据以上运算规律，让学生计算下列各题：

（1）1×2+2×3+3×4……+10×11=

（2）1×2+2×3+3×4……+n×（n+1）=

对于第2题先引导学生类比归纳得到：n×（n+1）[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]

4.提出问题——编题

请你模仿上面的材料，编拟一道计算题

引导方向：

（1）从自然数的个数去变化；

学生：1×2×3+2×3×4+……+9×10×11

（2）从起步“1×2”去变化；

学生：2×3+3×4+4×5……+99×100

（3）从两个连续的自然数到不连续的自然数；

学生：2×4+4×6+6×8……+2n·（2n+2）

（4）从整数到分数；

四位板演的学生不仅编出了四种类型的题目，而且还一一分析了解答过程。

5.总结

师：同学们，对于这道题的编题方法，我相信还有很多同学有更精彩的想法，同学们可以课后再讨论研究一下，有想法的同学还可以写篇小论文呢！今后遇到类似的项数比较多的计算题，可以考虑是否能用“裂项相消”的规律来解决。

教学反思

这节课我让学生通过计算比较，得出规律，应用发现的规律来引导学生来编题，而且给学生明确的编题方向，可以从数字的个数，是否连续性以及是否是自然数等改变其中一个或几个特点进行改编。因此，学生在编题的过程中也精彩纷呈，四个板演的同学从不同角度进行了改编，而且还能解答。

如何帮助学生建立并理解规律的数学关系模型，提高学生抽象思维水平，把一个数学问题的解决方法提升为一类数学问题的解决方案，这正是我们上这类专题课的目的和本源。课堂中我们要及时组织学生回溯规律形成过程，品味是如何解决复杂问题的，引导学生反思“从简单问题入手——找规律——用规律”，帮助学生积累必要的活动经验，学生通过这样的学习方式，收获的更多是学习能力、学习素养的提升，从而为学生可持续发展注入更多的动力。

有效的学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。由于本节教学内容的活动性和探究性比较强，所以在教学设计上，我们应多采用学生独立思考和小组合作交流的方式，特别是四人小组合作完成计算并展示，通过课前感知规律——情境中发现规律——操作中深化规律——体会中创新规律——生活中应用规律这五个环节，由浅入深，层层递进进行教学。

最后，我觉得自己不足的地方在于：所编的题目的深度可以再加强，如题目1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12，可以把数字由三个连乘，改编为多个，把连续的几个自然数改编为等差的几个数，自然数也可以改为任意数。可以引导让学生编出以下题目并计算：

a（a+d）（a+2d）……（a+kd）+（a+d）（a+2d）……（a+（k+1）d）+（a+kd）……（a+2kd）（a，d为任意数，k为整数）

我想这样应该更能发挥学生的积极性，更开拓学生对这类题目的理解等，使整节课的深度得到提升，使学生们的能力得到进一步发展。