乘法公式的灵活运用

□华兴恒

乘法公式的灵活运用

□华兴恒

公式是解题的重要依据之一，对于一个公式可以正用、逆用、变形用、推广用，还可以与其他知识综合运用.那么怎样灵活地运用乘法公式解决实际问题呢？

一、正用

有些数学计算题符合两数（式）平方差、完全平方公式的特征，从左到右（即正向）应用公式可使运算过程简捷、明了，从而快速、准确地得出结论.

例1计算：（1）49.82-39.8×40.2；（2）（-5 m-3 n）（5 m-3n）；（3）（x＋y）（x-y）（x2＋y2）（x4＋y4）.

分析：（1）将数进行分拆，可直接套用乘法公式来解；（2）观察发现，两个因式中“-3 n”相同，“±5 m”相反，适当调整项的位置，便符合平方差公式的特点；（3）仔细观察，可连续使用平方差公式简便获解.

解：（1）原式＝（50-0.2）2-（40-0.2）×（40＋0.2）＝502-2×50× 0.2＋0.22-（402-0.22）＝880.08.

（2）原式＝（-3 n-5 m）（-3 n＋5 m）＝（-3n）2-（5m）2＝9 n2-25m2.

（3）原式＝（x2-y2）（x2＋y2）（x4＋y4）＝（x4-y4）（x4＋y4）＝x8-y8.

有些问题看似与乘法公式无关，但经过适当的变形、运算后便可巧妙地运用乘法公式顺利求解.

例2已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是_________.

分析：根据题意可建立两个连续奇数的方程组，然后用平方差公式展开代入，从而顺利、简捷求解.

∴x＋y＝1000或x＋y＝-1000，

例3若x是不为零的有理数，已知M＝（x2＋2 x＋1）（x2-2 x＋1），N＝（x2＋x＋1）（x2-x＋1），则M与N的大小关系是（）.

A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法确定

分析：要比较M、N的大小，可先求差，然后利用乘法公式化简便可快速找出正确的选项.

解：∵M-N＝（x2＋2 x＋1）（x2-2 x＋1）-（x2＋x＋1）（x2-x＋1）

＝[（x2＋1）2-（2 x）2-[（x2＋1）2-x2]

＝（x2＋1）2-4 x2-（x2＋1）2＋x2＝-3 x2＜0，

∴M＜N，故应选B.

二、逆用

把乘法公式反过来，得a2-b2＝（a＋b）（a-b）；a2±2 a b＋b2＝（a±b）2也成立.因此逆用可获奇效.

分析：对于此题，如果直接计算，不仅运算量大，而且极易出错.若对（1）逆用平方差公式，则可巧妙获解；认真观察（2），设a＝1.2345，b＝0.7655，则有2 a b＝2.469×0.7655，再逆用完全平方公式就会变得简捷.

（2）原式＝（1.2345＋0.7655）2＝22＝4.

例5已知a＝2016 x＋2015，b＝2016 x＋2016，c＝2016 x＋2017，那么a2＋b2＋c2-ab-bc-a c的值是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：由题设条件难以求出a、b、c的值，通过仔细观察代数式，联想相关恒等式，则问题容易获解.

解：∵a＝2016 x＋2015，b＝2016 x＋2016，c＝2016x＋2017，

∴a-b＝-1，b-c＝-1，a-c＝-2.

∴a2＋b2＋c2-a b-bc-a c

故应选C.

分析：本题看上去很难求解，其实只要将公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2反过来用，求解很容易.

例7整数x、y满足不等式x2＋y2＋1≤2 x＋2y，求x＋y的值.

分析：对于两个未知数的不等式，须运用特殊方法与手段才能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项和重组.

解：原不等式可化为（x-1）2＋（y-1）2≤1，

又x、y为整数，（x-1）2≥0，（y-1）2≥0，

∴x＋y＝1或2或3.

三、变用

根据解题需要，公式可以进行等价变形或重新组合.如：

a2＋b2＝（a±b）2∓2 a b；（a±b）2＝（a∓b）2±4ab；（a＋b）2-（a-b）2＝4a b；（a＋b）2＋（a-b）2＝2（a2＋b2）；a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2-2（a b＋bc＋ca）；

应用上述变形式解决相关问题，不仅更简捷、更灵活，而且能够更深刻地感悟到数学的奇趣和妙用.

例8（1）设a＋b＝5，a b＝3.求（a-b）2的值；

（2）若x2-13 x＋1＝0，则的个位数字是（）.

A.1 B.3 C.5 D.7

分析：对于本题若想直接求出a、b、x的值代入，则需要解二次方程，但目前同学们还没学到这一知识，故此路不通.其实，若用上述变形式求解则简便快捷.

解：（1）原式＝（a＋b）2-4 ab＝52-4×3＝13.

（2）由x2-13 x＋1＝0，知x≠0，则两边都除以x，可得

应选D.

例9计算6（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1.

分析：若按部就班计算，显然将异常繁杂.可又不能直接利用乘法公式计算，为此可对求式进行恰当的变形，使之符合乘法公式的结构特征.

解：原式＝（7-1）（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1

＝（72-1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1＝（74-1）（74＋1）（78＋1）＋1

＝（78-1）（78＋1）＋1＝716-1＋1＝716.

例10已知a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝4，则a4＋b4＋c4的值为（）.

A.6 B.8 C.20 D.34

解析：∵a＋b＝-c，a2＋b2＝4-c2，

∴a4＋b4＋c4＝（a2＋b2）2-2 a2b2＋c4＝（4-c2）2-2（c2-2）2＋c4＝8，

故应选B.

四、活用

有些数学问题需要灵活运用乘法公式才能顺利获解.

例11设a、b、c、d都是整数，并且m＝a2＋b2，n＝c2＋d2，m·n可以表示成两个整数的平方和，其形式是___________.

分析：求解此题需用公式（x＋y）2＝x2＋2 xy＋y2和（x-y）2＝x2-2 xy＋y2，每个公式均有两种用法：从左到右将（x±y）2展开，或从右到左将一个合乎标准的二次三项式变为完全平方式，后一种方法很重要，在右边的式子不合标准（例如只有两项）时，常常增配一项，使它合乎标准，成为完全平方式，这种方法就是配方法.求解本题宜采用配方法.

解：∵m·n＝（a2＋b2）（c2＋d2）＝（a2c2＋2 a bcd＋b2d2）＋（a2d2-2 a bcd＋b2c2）＝（a c＋bd）2＋（a d-bc）2.

例12若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证：x2017＋y2017＝a2017＋b2017.

分析：从完全平方公式入手，根据已知条件寻找解题的突破口，找出x、y与a、b之间的关系.

①2-②，得2 xy＝2 a b，③

②-③，得（x-y）2＝（a-b）2，即|x-y|＝|a-b|，

∴x-y＝a-b或x-y＝b-a，

∴x2017＋y2017＝a2017＋b2017.

五、综合运用

将乘法公式与其他知识结合起来运用，可使有关问题迎刃而解.

例13（1）一个正方形的边长减少3cm，它的面积就减少33cm2，求这个正方形的边长.

（2）请证明x（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋1是一个完全平方式.

分析：（1）由面积关系建立方程，结合乘法公式求解；（2）根据所给式子的结构信息，略作变形即可说明.

解：（1）设此正方形的边长为x，则据题意得（x-3）2＝x2-33，即x2-6 x＋9＝x2-33.解得x＝7，即这个正方形的边长为7cm.

（2）∵原式＝x（x＋3）（x＋1）（x＋2）＋1＝（x2＋3 x）（x2＋3 x＋2）＋1

＝（x2＋3 x）2＋2（x2＋3 x）＋1＝（x2＋3 x＋1）2

∴x（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋1是一个完全平方式.