应用正、余弦定理别“任性”

李红

正、余弦定理及其应用问题综合性强、解题有一定的技巧，不少同学在解题时，经常因为审题不仔细、考虑不周、方法不当等原因而错解题目.下面就同学们在解题中出现的错误分类剖析如下，供大家参考.

一、审题不细致误

例1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2

错解：∵a20.

则cosA=b2+c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数，

且cos90°=0，∴A<90°.又∵A为△ABC的内角，∴0°

剖析：错因是审题不细，已知条件弱用.题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误.

正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a为最大边，∴A>60°.

因此得A的取值范围是（60°，90°）.

二、方法不当致误

例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a+b+csinA+sinB+sinC的值.

错解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，

又S△ABC=12bcsinA，

∴3=12csin60°，解得c=4.

由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA

=1+16-8cos60°=13.

又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=13+1+432+3239+639.

辨析：如此复杂的算式，计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的.

正解：由已知可得c=4，a=13.

由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=2393.

三、忽视制约条件致误

例3在△ABC中，c=6+2，C=30°，求a+b的最大值.

错解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°，

∴a=2（6+2）sinA，

B=2（6+2）sin（150°-A）.

又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，

∴a+b≤2（6+2）+2（6+2）=4（6+2）.故a+b的最大值为4（6+2）.

剖析：错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin（150°-A）不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的.

正解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°.

因此a+b=2（6+2）·[sinA+sin（150°-A）]=（8+43）·cos（A-75°）≤8+43.

∴a+b的最大值为8+43.

四、未挖掘隐含条件致误

例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.

错解：由正弦定理可知

cb=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-1.

由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.

剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a，b，c均为正的条件而致错.

正解：cb=4cos2B-1.（过程同错解）

又∵A+B+C=180°，C=2B，

∴0

∴1<4cos2B-1<3，故1

评注：在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解.

五、用错逻辑联结词致误

例5在△ABC中，acosA=bcosB，判断△ABC的形状.

错解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A+2B=180°.

∴A=B且A+B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.

剖析：对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.

正解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=180°.

∴A=B或A+B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

六、解题不完整致误

例6若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

错解：不妨设0

cosθ=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.

由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a+b>c，

即cosθ>0.∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

剖析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件.

正解：由错解可得cosθ>0.

又∵a+b-c=（a+b-c）（a+b+c）a+b+c

=（a+b）2-ca+b+c=a+b-ca+b+c+2aba+b+c>0.