模型思想在解决问题教学中的实践与思考——“用括线和‘？’表示实际问题”的教学片断与评析

南京师范大学附属中学仙林学校小学部（210023）欧　苹



模型思想在解决问题教学中的实践与思考——“用括线和‘？’表示实际问题”的教学片断与评析

南京师范大学附属中学仙林学校小学部（210023）欧苹

［摘要］《数学课程标准》（2011版）中明确将模型思想确定为十大核心概念之一，并指出：“数学教学应注重发展学生的模型思想。”通过教学“用括线和‘？’表示实际问题”的实践与思考，引导学生在运用括线和“？”表示实际问题的过程中，了解实际问题的构成，不仅能运用数学符号沟通知识间的内在联系，建立数学模型，而且能自觉地用模型思想去分析、解决问题，提高低年段学生解决问题的能力。

［关键词］数学教学模型思想解决问题数学思想

教学环节一：借助符号化语言，分析条件与问题

师（在复习导入环节创设情境）：秋天是收获的季节，大家看，果园的苹果丰收啦！瞧，小兔子们摘来苹果招待大家呢！

（师出示情境图，引导学生说出四道算式，并让学生根据加减法的意义进行解释）

师：两部分合起来要用加法，把总数分成两部分要用减法。

板书如下：

（教学例题时，师动态呈现情境图，先出示盘里的5个苹果）

师：到底求什么呢？让我们的“新朋友”——括线和“？”来帮助我们解决问题吧！

师：从图中你知道了什么？

生1：盘里有5个苹果。［课件相应出示：盘里有（5）个苹果］

师（课件再出示盘外的3个苹果）：还有什么？

生2：盘外有3个苹果。［课件相应出示：盘外有（3）个苹果］

师：根据刚才的信息，你想知道什么？

生3：一共有几个苹果？

师：为了简单地表示问题，可以用这个符号（相应出示括线）来表示，括线对着哪里就表示那里的物体一共有的个数。

师：那么，这里的括线表示什么意思呢？

生4：表示盘里的5个苹果和盘外的3个苹果合起来，一共有的个数。

师：“一共有几个苹果”是一个问题，可以用“？”来表示。现在请同学们看着用括线和“？”表示的问题情境图，同桌说一说知道了什么，要求什么。（生自由说）

师：问“一共有几个苹果”，该怎么解决？生5：5＋3＝8。

师：对于这道算式，你有什么想说的？生6：为什么5加3等于8？生7：因为5和3合起来是8。

生8：为什么要用加法来计算？

生9：要求的问题是“一共有几个苹果”，就要把盘里的5个苹果和盘外的3个苹果合起来。

生（齐）：盘里有5个苹果，盘外有3个苹果，一共有8个苹果。

师（小结）：这里，我们知道了一部分和另一部分，求总数（顺势指着括线下面的“？”）所以用加法，这里的括线可以理解成“合起来”（师相应辅助合起来的动作）的意思。

……

评析：

在学生已有一图四式表示问题的基础上，教师以问题为引领，引导学生经历有序思考、逐步抽象的过程，寻找解决问题的思路。在此过程中，学生经历从已知到新知的探索过程，从问题情境中逐步抽取出数学问题。这里，教师运用多种方式引导学生思考问题：（1）动态课件引导；（2）符号化语言引导，即用括线和“？”整理有效条件与问题，了解一个完整的问题需要由问题和相关联的条件组成，培养学生整理条件和问题的意识；（3）文字语言引导，即采取图文结合的方式呈现实际问题，借助文字引导学生有序、完整地表达数学问题，感悟数学符号的意义，初步探索解决问题的思路，为用模型思想解决问题奠定基础。

教学环节二：根据已有的知识经验，理解解题思路

师（在“试一试”环节）：小朋友们真棒！为了奖励大家，小兔子又提来了一篮苹果。

师（课件先出示一共有的苹果图）：从图中，你知道了什么？

生1：一共有8个苹果。［课件相应出示：一共有（8）个苹果］

师（出示括线）：一共有8个苹果可以用括线表示。（辅以合起来的动作）

（课件动态演示从8个苹果里移出1个苹果，并用“？”表示篮子里剩下的苹果）

师：现在又有什么变化呢？

生2：一共有8个苹果，篮子外有1个，要我们求篮子里有几个苹果。

［课件相应出示：篮子外有（1）个苹果，篮子里有（）个苹果。］（要求学生根据情境图，同桌说说条件和问题）

师：要求篮子里的苹果数，该怎么办？把你的想法写在数学书第60页的“试一试”上。（指名生2上台板演，列出算式为8－1＝7）

生2：你们明白我的意思吗？

生3：因为一共有8个苹果，这里的8个苹果是总数，拿出1个苹果，要我们求篮子里有几个苹果，所以用8－1＝7。

师：为什么8减1等于7呢？

生（齐）：8可以分成1和7。

师（小结）：这里，我们知道了总数和一部分，求另一部分（顺势指着括线上面的“？”），所以用减法。这里的括线可以理解为分成了两个部分（师相应的辅助手势，帮助学生理解）。

……

评析：

本教学环节既是解释与应用的过程，也是深化与巩固的过程。与教学环节一求总数相比，本教学环节出示的实际问题是已知总数和一部分，求另一部分。学生已具备一定的解决问题经验，于是教师放手让学生自主探索解决问题的方法，使学生既经历从具体情境到数学问题的过渡，又经历了从自主探索到解释与验证的过程。在相互质疑中，学生大胆地解释解决问题的过程，并在教师的引导下，根据减法的意义理解括线和“？”在特定情境中所表示的实际意义，同时从中抽象出数量关系，为后面建构数学模型做好准备。

教学环节三：引导学生总结反思，提升数学思想

师：例题和“试一试”有什么相同点？（生答略）

师：相同点是都有括线和“？”，这里的括线和“？”是来帮助我们一起解决问题的。（揭示本课所学的主题）那它们有什么不同点？

生（齐）：问号的位置不同。

师：问号的位置不同，要求的问题也就不同。当我们知道一部分和另一部分，要求总数（将原板书总数改成“？”）就是把两部分合起来（随即用括线把一部分和另一部分连接起来），所以用加法。

形成以下板书：

师：当我们知道了总数和一部分，要求另一部分，就要把总数分成一部分和另一部分（随即用括线把一部分和另一部分连接起来），所以用减法。

形成以下板书：

评析：

本环节，教师着重引导学生自主感悟数学模型建构的过程，使学生通过对比用括线和“？”表示实际问题的相同点与不同点，形成结构化的数学模型。同时，教师引导学生在观察数学模型中，感悟知识间的内在联系；在相同点的思考中，感受括线和“？”在解决问题中的共同特征；在不同点的观察中，深入、具体地感悟括线和“？”在具体问题中表示的实际意义，即括线可以表示合起来，也可以表示分成两个部分，而“？”则指明了问题是求总数还是求部分。在总结和讲解中，教师借助数学符号将关键词以结构化的形式抽象出来，为解决问题提供思路，并引导学生建立模型，使学生积累了解决问题的经验。

总评：

《数学课程标准》指出：“教学应结合具体的数学内容，采用‘问题情境——建立模型——解释、应用与拓展’的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义……”教学“用括线和‘？’表示实际问题”一课时，教师在分析教学内容和学生已有知识经验的基础上，寻找知识间的内在联系，引导学生以建构数学模型的方式，掌握实际问题的框架，理解解决问题的思路，提高了学生分析、解决问题的能力。

教材分析：第一，内容编排。“用括线和‘？’表示实际问题”隶属“10以内的加法和减法”这一单元的内容，在编排上把运算意义、计算方法和应用运算解决实际问题的内容有机结合起来，发挥了知识之间相互依存、相互促进的作用。第二，内容呈现。根据低年段学生的认知发展特点，本课采用图文结合的方式呈现实际问题。

学情分析：低年段学生的学习能力较弱，本课是学生第一次接触用图示的方式表示实际问题，表面看似简单，但在思考方式上学生往往存在思维定式，即低年段教学的实际问题较为简单，往往能直接看出答案。由于学生未形成完整的解题思考模式，导致解决问题时往往在不分析条件和问题的情况下，将问题当作已知条件来思考。

基于上述分析，笔者认为教师应引导学生在解决问题中建立数学模型、感悟模型思想，以培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。

1．沟通知识间的内在联系，理解数学模型的意义

有学者指出：“数学建模既可以对数学本身进行建模，又可以对实际问题的内在关系来数学建模。”笔者认为，要引导学生经历建模的过程，教师心中首先要有一个数学模型，并能运用数学模型表达知识间的内在联系。根据知识间的内在关系来建构数学模型，才能有效地帮助学生理解解决问题的思路。如上述教学中，教师将实际问题和数的分与合、运算的意义相结合来讲解数学符号表达的意义，既为学生建构数学模型提供依据，又有利于学生理解数学模型的概念。例题中的括线表示合起来的意思，“试一试”中的括线表示分成两个部分，追本溯源就是数的分与合要表达的意义，与应用运算符号“＋”和“－”表达的意义一致，可以沟通部分与部分、总数与部分之间的关系。

2．逐步抽象知识内容，提供数学建模的素材

有学者指出：“数学模型是对现实原型的一种理想化处理，是一个科学的抽象的过程，因而具有高度的抽象性和形式化特征。”也有学者指出：“建模应先考虑某些最主要的因素，让其他因素都假定为最特殊的情形，然后对这些主要因素建模。”为使数学模型能够精确地表达出知识的内在意义，上述教学中，教师将抽象贯穿课堂教学的各个环节，试图抽象出建模的最主要因素。如例题和“试一试”教学中，教师引导学生将问题情境逐步抽象成已知条件和要求问题；在解决问题过程中，将学生表达的条件和问题的关系抽象成算式，再根据运算的意义，将数字的意义扩大，抽象出一般的概念。又如，在例题学习中，教师引导学生根据具体情境，借助括线和“？”分析条件与问题，列出算式5＋3并解释算式，随后抽象出5表示一部分，3表示另一部分。其中，“试一试”的学习也相同。这样逐步抽象的过程，为学生建构数学模型提供了素材。

3．引导学生对比分析，感悟结构化的数学模型

《数学课程标准》明确指出：“在数学教学中应当引导学生感悟建模的过程，发展模型思想。”根据低年段学生的思维以具体形象思维为主的特点，图示的方式能够简明扼要地表示出问题中的数量关系，利于学生形成知识表象。同时，采用图示的方式建立数学模型，有利于学生感悟数学模型，为学生解决问题提供了思路。如在教学环节三的设计上，教师注意引导学生将教学环节一和教学环节二进行对比，总结出用括线和“？”表示实际问题的形式特征，以及括线和“？”在不同问题情境中的实际意义。同时，教师将学生的语言表达，运用直观的板书移动的方式，形成结构化的数学模型，形象地表示出具体情境中解决问题的思路，提高了学生解决问题的能力。

《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”毋庸置疑，模型思想对学生的思维发展起着至关重要的作用，在低年段数学课堂教学中，教师应为学生创设多样化的生活情境和提供丰富的学习素材，使学生在感受知识内在联系的过程中逐步建立结构化的数学模型，在运用数学模型解决实际问题的过程中感受问题所表达的实际意义，从而激发学生自主建模的欲望，积累解决问题的经验，提高学生解决问题的能力。

（责编蓝天）

［中图分类号］G623.5

［文献标识码］A

［文章编号］1007-9068（2016）01-027