数学思想解决物理问题的“谬用”

郭华初

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，是用数学解决问题的指导思想。任何物理问题的分析、解决过程，都是数学思想的运用过程。正如爱因斯坦所说：“数学之所以有高声誉，受到特殊的尊重，一个理由是数学的命题具有可靠性，另一个理由是数学给予自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，科学是达不到可靠性的。”所以能熟练地运用数学思想处理物理问题，是学好物理的必要条件。

但是物理问题并不等同于数学问题，纯粹的物理问题数学化，将使数学计算失去物理意义。在物理学科学习中，运用物理思维解决物理问题是不可替代的。我们应该注意物理知识和数学思想的有机结合，防止物理问题数学化。

1.“谬用”理论代替实际

应用物理知识解决实际问题时，总是或多或少应用到数学思想进行推导。数学思想和物理情境的有机结合是解决物理问题的有效途径。但是在解题过程中常常会遇到数学思想替代物理情境，理论与实际脱离的情形。

例1.如图1，一根长L，质量为m的均匀长方形木料，放在水平桌面上，木料与桌面之间的动摩擦因素为μ，现用水平力推木料，当木料有■伸出桌面时，桌面对它的摩擦力大小为多少？

图1

很多学生不假思索就回答为■μmg，认为伸出桌面的■对桌面没有压力，压力减小为原来的■。错解原因在于学生全凭直觉和算术加减分析这一问题，错误地以为面积减少■，压力也减少■，变为原来的■。没有进行必要的受力分析，没有分析出木料在竖直方向上受到重力和弹力作用，二力平衡，故弹力F■=mg，由滑动摩擦力公式知，摩擦力大小为F■=μF■=μmg。

例2.汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶刹车后经2秒速度变为6m/s求：（1）刹车后前进9m所用的时间？（2）刹车后8s内前进的距离？

解析：（1）由公式x=v■t+at■代入数据，解得t■=1s，t■=9s，这两个结果是否都正确呢？从数学的角度看一个一元二次函数，有两个解是很正常的事情。但是这个结果是否符合物理实际呢？将t■=9s代入公式V■=V■+at得：Vt=-8m/s，即汽车刹车后又向反方向运动到达位移9m处，显然这是不可能的。所以刹车后前进9m所用时间应为1s。

（2）由公式x=v■t+at■代入数据可得x=16m，但参考答案x=25m.问题出在哪里呢？我们重新分析试题，根据V■=V■+at代入数据可得汽车经过t=5s速度为0，已经静止不动了。而代入t=8s时，后面静止的3s也当做汽车在运动，显然这与实际情况是不符的。因为汽车失去动力以后，停下来就不会再继续运动了。可见直接代入时间8s进行计算是错误的。最后应该代入停车前运动的时间t=5s可以得出x=25m。

可见，在求解中，如果把一个物理过程单纯作为一个数学问题解答，那就会出现很多明显与物理事实或生活实际不相符合的事情。需要我们在学习中全面认识事物，理论联系实际进行分析。

2.“谬用”公式的适用条件

在物理学习过程中，我们要掌握很多概念、定律，对于这些概念、定律需要有完整认识。如果不了解它们反映出来的物理本质特征，不了解它们的内涵和外延，没有掌握它们的适用条件，单纯从数学角度理解这些概念和定律，就会出现一些生搬硬套、文不对题的错误。

例3.下列关于万有引力定律的说法中正确的是（ ）

A.万有引力定律是牛顿发现的

B.F=G■中的G是一个比例常数，它和动摩擦因数一样是没有单位的

C.万有引力定律公式在任何情况下都是适用的

D.由F=G■公式可知，当r→0时，F→∞

错解：万有引力定律公式F=G■，当r趋近于0时，因为“分数的分母趋近于0时，这个分数值趋近于无限大”，所以F趋近于无限大，答案D应该是正确的。

分析：万有引力定律适用的条件是“任意两个质点“。m■和m■是指相互作用的两质点的质量，r是两质点间距离。当r趋近于0时，物体的大小和形状就不能忽略，m■和m■就不能看做质点了，此时万有引力定律公式也就不再适用了，所以答案D错误。

例4.两相同带电小球水平放置，带有等量的同种电荷，当两小球相距为d时，两小球的库仑力大小为F，若将两小球的电量同时各减少一半，而保持两小球间的距离d不变，则两小球的库仑力大小为（ ）

A.大于F/4

B.等于F/4

C.小于F/4

D.无法确定

学生选择答案较多的是B项，在解答中学生直接应用库仑公式F=k■进行运算，却忽略了库仑公式的适用范围，即真空中的点电荷。在此题中由于小球并非点电荷，因此当两小球的电量发生变化时，小球带的电荷在斥力的作用下要发生转移，小球的电荷中心发生了变化，致使电荷中心距离也发生改变，距离要较前者变小，因此正确选项应该是A。

例5.如图3所示，在铁芯上、下分别绕有匝数n■=800和n■=200的两个线圈，上线圈两端与u=51sin314tV的交流电源相连，将下线圈两端接交流电压表，则交流电压表的读数可能是（ ）

A.2.0V

B.9.0V

C.12.7V

D.144.0V

错解：因为交流电源电压的有效值为U■=■V，由变压器原副线圈电压和匝数的关系有：■=■、n■=800、n■=200，解得U■=9.0V，因为交流电压表指示的是有效值，故B正确。

分析：除非是理想变压器，实际变压器都存在漏磁等现象，特别是本题的非闭合铁芯，漏磁现象会更明显。所以通过原线圈的磁通量大于通过副线圈的磁通量，故实际副线圈的输出电压肯定小于9v，答案A正确。

通过上面三道例题，我们可以看出，在物理公式中运用数学知识运算时，一定要弄清物理公式所表示的物理意义及适用条件，不能单纯地从抽象出来的数学意义理解物理问题。要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”，也不要把物理意义淹没在数学表述式中。

3.“谬用”图像的物理意义

例5.一实验小组准备探究某种元件Q的伏安特性曲线，他们设计了如图所示的电路图。请回答下列问题：

（1）实验测得表格中的7组数据。请在坐标纸上作出该元件的I-U图线。

图4

图5 图6

（2）为了求元件Q在I-U图线上某点的电阻，甲同学利用该点的坐标（U、I），由R=■求得。乙同学作出该点的切线，求出切线的斜率k，由R=■求得。其中？摇？摇 ？摇？摇（选填“甲“或“乙”）同学的方法正确。

解析：（1）如图7所示。

图7

（2）甲同学利用了欧姆定律R=■，乙同学利用了斜率的知识，从数学的角度上看都没有问题。但从实际情况说，甲同学的方法才是正确的。

根据欧姆定律写出自变量I和函数U的关系式为：U=IR，其中R表示元件Q的阻值。因为电流I增大时，元件Q的温度升高，电阻率变大，电阻R也就增大，所以不能简单地认为U与I成正比。从图像可以看出，此时的函数U=f（R，I）是包含两个自变量的，其斜率也就不能简单地认为等于R了，即斜率k=ΔU/ΔI≠R。

那么其斜率表示什么物理意义呢？过该点的切线斜率k=ΔU/ΔI，在电子技术中表示该点对应的动态电阻。而我们中学阶段所说的电阻为静态电阻，等于该点对应的直流电压U和电流I的比值，也等于过坐标原点和该点直线的斜率。在本题的U-I图像中两线的斜率明显是不等的，即动态电阻不等于静态电阻，也就不能把这两种电阻值混为一谈了。如果是线性元件，U-I图像是直线，那么二者的斜率是一样的，这两个电阻值才会相等。

所以运用物理图像解决实际问题时，一定要使学生在明确物理概念的基础上，弄清图像表示的物理意义。而不能只是机械地记住物理公式或图像，错误地套用图像的物理涵义。

恩格斯说：“任何一门科学的真正完善在于数学工具的广泛应用。”数学是帮助我们解决物理问题的工具，数学并不是物理的全部。我们在分析物理过程时，应该从物理思维的角度理解物理情境，物理思维才是学习物理的核心理念。

参考文献：

[1]罗吉勇.学习物理的核心思维是物理思维[J].物理教学探讨，2014.12.