高考视角下的数列通项公式的求法

朱亚娇

数列的相关知识和方法是初等数学和高等数学衔接紧密的内容之一，因而也是高考重点考查的内容之一，数列的通项公式及其应用自然就成为高考考查的重点.但数列通项公式的求解方法又是在考前复习中容易膨胀的内容，如何准确界定复习范围，既能做到考前复习全面有效，又不突破界限，浪费宝贵的复习时间，是摆在每一个高三教师和同学面前的问题.本文拟以历年高考试题为例说明数列通项公式的基本求法.

一、归纳猜想法

通过观察数列的前几项的内在规律，归纳、猜想出数列的一个通项公式.这种类型的试题一般以选择题的形式出现.

例1：（2009湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，他们通过摆出三角形发现了数1，3，610，…，这些数称为三角形数，由正方形发现数列1，4，9，16，…，称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（？摇 ？摇）

A.289？摇？摇B.1024？摇？摇C.1225？摇？摇D.1378

解析：解决这个问题的关键是，求出题中给出的两个数列的通项公式.首先观察1，3，6，10，…可得它的通项公式为a■=■，观察1，4，9，16，…，可得其通项公式为，b■=n■，将1225代入可得1225是数列{a■}的第44项，1225同时又是数列{b■}的第35项，故选A.

二、根据S■与a■的关系确定通项公式

已知数列{a■}的前n项和S■，通过关系a■=S■？摇？摇n=1S■-S■？摇？摇n≥2可确定数列的通项公式.

例2：已知数列{a■}的前n项和S■，S■=2a■，且a■=1，则S■=（？摇？摇？摇）

A.2■？摇？摇B.（■）■？摇？摇C.（■）■？摇？摇D.■

解析：因为a■=S■-S■代入条件可得S■=2（S■-S■），所以S■=2S■，可知数列{S■}为等比数列，由S■=a■=1，得S■=2n-1，所以选A.

三、待定系数法（或公式法）

如果已知数列为等差或者等比数列，则可以直接使用等差、等比数列的通项公式，利用待定系数法确定其通项公式.

例3：（2012湖北）已知等差数列{a■}的前三项的和为-3，前三项的积为8，求数列{a■}的通项公式.

解析：问题已知数列为等差数列，故可以利用其通项公式a■=a■+（n-1）d求解.于是a■+a■+a■=-3a■a■a■=8，代入可得a■+d=-1a■（a■+2d=-8，解得a■=-4，d=3，或者a■=2，d=-3，所以其通项公式为：a■=3n-7或者a■=5-3n.

四、逐差法

如果能将递推关系转化为：a■-a■=f（n），且f（n）（n=1，2，3，4，…）能求和，则可以逐差法（累加法）求得数列的通项公式.

例4：（2010年新课标）设数列{a■}满足a■=2，a■-a■=3·2■，求数列{a■}的通项公式.

解析：因为a■-a■=3·2■，当n=1、2、3、4、…，n时依次得到：a■-a■=3·2，a■-a■=3·2■，a■-a■=3·2■，…，a■-a■=3·2■.以上各式相加可得：

a■-a■=3·2+3·2■+3·2■+…+3·2■=3■=3·4■-2，所以a■=2·4■.

五、构造法

对于形如a■=pa■+q（*）型的递推关系，可以采用构造新数列的方法求数列的通项公式，（*）可以构造为：a■+t=p（a■+t）（其中t=■），再令b■=a■+t，则{b■}为等比数列.

例5：已知数列{a■}中，已知a■=■，a■=4a■+1（n≥2），求数列{a■}的通项公式.

解析：设a■+t=4（a■+t）（n≥2），可得a■=4a■+3t，与条件式a■=4a■+1比较可得t=■，令b■=a■+■得：■=4，故数列{b■}为等比数列，其首项为b■=a■+■=■，所以通项为b■=■·4■，因而a■=■·4■-■.

通过对以上的例题分析，我们可以初步窥探关于数列通项公式的求法的几种主要求法.在考前复习中，一定注意不要人为扩大复习范围，从而给考前复习造成困难，浪费宝贵的考前复习时间.