Laplace方程Cauchy问题的正则化间接边界元法

魏昕婧， 潘月君， 张耀明

(山东理工大学 理学院, 山东 淄博 255049)



Laplace方程Cauchy问题的正则化间接边界元法

魏昕婧， 潘月君， 张耀明

(山东理工大学 理学院, 山东 淄博 255049)

摘要：应用间接变量规则化边界元法，对边界条件识别Cauchy反问题进行了研究. 采用TSVD和Tikhonov两种正则化方法求解配点过程中出现的线性病态方程组，通过GCV法确定正则化参数. 数值算例表明，该算法稳定性好，数值解与精确解相当地吻合.

关键词：间接边界元法； Cauchy反问题； 正则化方法； GCV法

位势边界条件识别反问题是指通过研究对象表面或内部的位势相关信息，反演物体边界条件的一类问题，它涉及物理学、数学、实验技术等多个学科领域，在无损探伤、航空航天、生物医学、冶金铸造、核能工程等领域中有着广泛的应用.有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)已被应用于反问题的研究中，然而，它们均需在物体内部划分网格，过程繁复，耗费机时，而且求解精度较差. 边界元法(BEM)由于只需在物体边界划分单元，大大减少了工作难度，提高了计算效率，使其在反问题的研究中更加有效. 已有的反问题的研究主要集中在直接变量边界元法，文献[1-2]分别将直接变量边界元法应用于二维位势问题、二维薄体位势问题边界识别反问题的求解. 本文基于文献[3]提出的间接变量无奇异边界积分方程，开展位势边界条件识别反问题的研究.

反问题求解过程中，相应的线性系统通常是严重病态的，直接使用传统的Gauss消去法一般很难获得其有效解，因此，采用适当的正则化方法求解是必要的. 最常用的正则化方法有TSVD法、Tikhonov法及PCG法(预处理共轭梯度法)[4]. 确定正则化参数的常用方法有：L曲线法、GCV法(广义交叉校验准则)及波动曲线法等. 本文采用TSVD和Tikhonov两种正则化方法来求解病态线性系统，正则化参数的选取通过GCV法来完成.

1反问题及规则化边界积分方程

1.1二维位势边界条件识别反问题

本文考虑子边界Γ1上位势和通量已知，边界Γ2上的位势和通量均未知的边界条件识别反问题，如图1所示.

图1　Cauchy型边界条件识别反问题

1.2规则化边界积分方程

二维位势问题的等价的规则化间接变量边界积分方程[3]为

∫Γφ(y)dΓx=0

u(y)=∫Γφ(x)u*(x,y)dΓx+C,y∈Γ

2正则化方法

2.1截断奇异值分解法(TSVD)

对于线性方程组

Ax=b

(1)

其中，A∈Rm×n，x∈Rn，b∈Rm，且m≥n.对矩阵A进行奇异值分解，则有

且

UUT=Im∈Rm×m

VVT=In∈Rn×n

m≥n,σ1≥…≥σp>0,σp+1=…=σn=0.

方程(1)的解可用Moore-Penrose广义逆A+来表示，即

x的欧几里得范数可写为

式中：rε为满足1

k≤p即为正则化参数，其对应的截断奇异值解为

2.2Tikhonov正则化方法(TR)

Tikhonov正则化方法[5]构造了一种依赖于参数α>0的泛函

Jα(x):=‖Ax-b‖2+α2‖x‖2

(2)

并通过求解该泛函的极小值得到式(2)的一个较好的近似解.显然，对于任意α>0，Jα是严格凸的，因此，有唯一的xα满足

此时，xα即为Jα的正则解.而xα又是方程

(ATA+α2In)xα=ATb

的解，且ATA+α2In对称正定，所以该方程的解唯一，可表示为

2.3广义交叉检验准则(GCV)

广义交叉检验准则是由GolubGH提出的.其基本思想是：假定将任意一个观测值bi从原观测值序列b中删除，则此时由剩余观测值求得的正则化解应能够较好地预测b中被去掉的这一观测值bi.广义交叉检验法可以等效为求解最小GCV函数问题

3数值算例

考虑圆环区域上的稳态温度场的Cauchy反问题. 圆环内、外边界分别是

和

图2　圆环区域热传导

计算时，内、外边界分别被划分成20个和40个线性单元.分别用TSVD和Tikhonov正则化方法对问题进行求解，并用GCV法选取正则化参数. 如图3和图4所示，两种方法分别在k=93和α=1.0×10-3处达到GCV最小值，因此选取上述参数作为该问题的正则化参数. 图5描述了两种正则化方法下求得的边界位势和通量的数值解以及与解析解的比较，结果表明，数值解与解析相当地吻合.

图3　GCV法选取TSVD正则化参数

图4　GCV法选取Tikhonov正则化参数

分别将边界划分成60、120、180、240、300个线性单元，表1列出了在不同单元数下TSVD和Tikhonov正则化方法的最佳正则化参数选取，图6(a)和6(b)分别描述了边界温度和热流的平均相对误差的变化. 可以看出，随着单元数的增加，边界温度和热流的平均相对误差迅速地变小，表明该方法具有良好的收敛性.

图5　未知边界温度和热流数值解与解析解对比图

表1不同单元下正则化参数的选取

单元数TSVD参数kTR参数α60931.00×10-31201711.00×10-31802491.00×10-42403271.00×10-43004121.00×10-4

图6　不同单元下未知边界温度和热流平均相对误差

4结束语

二维位势问题边界条件反识别问题具有不适定性，常规边界元法直接求解此问题时通常失效，因为求解中涉及的线性系统是高度病态的.本文运用间接规则化边界元方法，结合TSVD和Tikhonov两种正则化措施，同时通过GCV曲线法确定TSVD法的最佳截断项和Tikhonov法的最优参数，有效地解决了这个问题.数值算验证了方法的有效性.

参考文献：

[1]卞步喜, 周焕林, 程长征, 等. 二维位势边界条件反识别TSVD正则化法[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版), 2014, 37(9):1 097-1 011.

[2]周焕林, 王剑, 牛忠荣. 薄体各向异性位势边界条件识别反问题正则化边界元方法[J]. 固体力学学报,2008, 29(12): 45-48.

[3]ZhangYM,LyuHX,WangLM.Novelregularizedboundaryintegralequationsforpotentialplaneproblems[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(9):1 165-1 170.

[4]周焕林, 江伟, 胡豪，等. 二维弹性力学边界条件反识别PCG正则化法[J]. 固体力学学报, 2013, 33(10): 288-293.

[5]TikhonovAN,ArseninVY.SolutionsofILL-posedproblem[M].NewYork:JohnWileyandSons,1977.

(编辑：郝秀清)

Regularized BEM with indirect unknowns for the Cauchy problem of Laplace′s equation

WEI Xin-jing, PAN Yue-jun, ZHANG Yao-ming

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:The potential inverse identification boundary conditions problem is investigated by using the indirect boundary element method (IBEM) in this paper. Both the truncated singular value decomposition(TSVD) and the Tikhonov regularization method are applied to solving the ill-conditioned linear system involved in the process of implementation, and the optimal truncation number for the TSVD and the optimal parameter for the Tikhonov are chosen according to the generalized cross validation(GCV) method. A numerical example is given to verify the effectiveness of the proposed scheme, with numerical results being good agreement with the exact solutions.

Key words:indirect boundary element method; Cauchy inverse problems; regularization methods; generalized cross validation

中图分类号：O342

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2016)03-0057-04

作者简介：魏昕婧，女，mogu555@sina.com； 通信作者： 张耀明，男，zymfc@163.com

收稿日期：2015-03-18