HPM视角下高中数学概念教学设计

徐长俊

摘 要：高中学生对数学概念的理解过程是存在历史相似性的，这就要求教师在实际教学中更多地了解数学概念发生发展的历史过程，并按照历史发生教学法的原则和步骤设计开展自己的课堂教学。本文试图通过在HPM视角下设计实施的导数概念应用教学，重构微积分发展的历史过程[1]，通过一个个实际问题情境的设置，让学生在解决问题的过程中体验导数概念的本质，从而加深学生对导数概念的理解。

关键词：HPM；高中数学；发生教学；导数概念教学

在高中数学概念中，导数概念是一个非常重要的概念，它为函数性质的研究提供了一个比较普遍的方法，从而减轻了学生学习传统高中数学中复杂的函数技巧的压力，使得函数的研究轻松许多。但当前的高中数学课堂中更着重导数实际应用的教学，忽视了导数概念本身的分析，从而导致学生对于导数概念的本质缺乏理解，妨碍了学生在解题中灵活和准确运用导数概念。

1 HPM教学法的意义

在当下的数学运算中经常会用到HPM的解题方法。比较成熟的算法是对于非线性方程组的解法同时这种解法也是一种新的思考方式。这种方法最早是由传统的摄动法和拓扑中的相互耦合得到的。对于比较难解决的问题利用HPM可以得到很好的数值结果。所以对于HPM的应用受到了很多数学家的关注，在这个过程中还在不断地推广和修正，并且也在各个领域有了更好的应用。HPM算法还可以用在不连续的非线性震荡当中，可以解决边值问题。对于微积分的应用和可以进行耦合反应和进行扩散方程的运算。对于非线性的方程采用HPM实现了方程的迭代计算方法，进而改写一个耦合的非线性方程。

2 导数概念应用的教学设计与反馈

2.1 导数概念应用中的“易拉罐最佳比例问题” 首先需要创设情景：在我们的现实生活中易拉罐可以说是经常遇见，而这些易拉罐在对可乐或者是啤酒的实际容量是相同的，这样的设计尺寸基本上是一样的，这样的设计是巧合吗？

探究原因：对于易拉罐的设计在最初一定要考虑的问题就是，怎样做才能保证材料做到最省，而在做易拉罐是材料又和易拉罐的表面积有很大的关系，因此可以提炼出一个问题：体积相同的圆柱体，它的高和半径取怎样的值时，才能使得其面积最小？很明显在用一般的书算法是很难算出的，所以要借助于导数的概念来解决问题。

经过测量发现：高度约为实际半径的4倍，实际上和计算出来的结果不相同，可是问题到底出现在哪里呢？易拉罐的厚度和它的侧面与底面厚度是完全不同的：经过测量发现易拉罐侧面的厚度是0.011cm，其中顶部的厚度是0.028cm，而底面的实际厚度是0.021cm，为了计算的方便可以将侧面的厚度近似的计算为0.01cm，其中底面的厚度计算为0.02cm，再次让学生计算出易拉罐的高和半径的实际比值。经过再次计算发现和测量的实际值几乎一致。

结果分析：利用HPM的方法可以很好地将问题变得简单化，使得学生在初次接触导数的概念以后，觉得这个概念并不是很难，而且非常重要的一点是可以利用HPM的方法结合导数的概念使得生活中常见的问题，利用一般正常的数学思想很难解决可以通过利用HPM的方法很容易地解开，这样在很大程度上吸引了学生，引起了学生的学习兴趣，为以后对导数概念的学习打下了良好的基础。在设计导数概念课程时，教师还考虑到了创设情景，然后提出问题，解决问题。而在解决问题中又出现了问题，引导学生再次深入地探讨关于易拉罐半径和高度的最佳比例问题。这样一个教学过程易于引发学生的思考，易于带动他们自己动手来探讨问题，最终找到正确的答案，这样就可以很大程度地提高学生的学习效率及课堂的教学质量。当然以上的问题还是比较简单的，要想引导学生将导数概念理解得更加透彻和深入就需要结合实际问题再次提出更深入的问题，当然在这个过程中依然要借助于HPM的方法进行实际的探究过程，这里主要是借助于HPM的解题思想。

2.2 导数概念应用中的“球体最佳比例问题”

情境引入。模拟现代交通网设计如下例题：在图中A点和C点分别位于宽度为40m的河岸上，其中B点和C点分别位于河两边的正对岸，其中A、B两点之间的距离达到了100m，在陆地上的运输速度是在水上运输速度的两倍，为了使得从A点到C点的实际运输时间最短，需要在D点上设立水陆转换码头，求角BDC和AD之间的距离？很显然要想解决以上问题只能借助于导数的概念。

解：首先要设定水流的速度是1，那么在陆地上的实际运输速度就是2，这里面社设定BDC的角度是θ，那么就可以得到导数函数：

3 结语

HPM 不能作为一种形式，它是为满足提高教学效率而运用数学史知识的一种教学理念，因此不能在教学中简单的对数学史进行复制，这样难以让学生在复制的历史中学习概念。可以针对导数概念在产生过程中遇到的几个问题构造相类似的简单问题，让学生重新体验导数概念产生的过程，更好地理解和掌握导数的概念。数学史融入高中数学概念的教学，不能只是数学史的教学，而是教师对数学史知识的再创造，是学生对历史的传承与创新。

参考文献：

[1]王芳.数学史融入导数教学的行动研究[D].华东师范大学，2012.

[2]王芳，汪晓勤.HPM视角下的“导数应用”教学[J].数学通报，2014.

[3]王芳，汪晓勤.HPM视角下“导数几何意义”的教学[J].数学教育学报，2012.