探究凹面轨道上的摩擦力做功问题

郑金

摘 要：推导了物体在凹面轨道上缓慢运动时克服摩擦力做功的公式；探讨了有关物体沿凹面轨道运动问题的错题及错解；探究了几道典型题及高考题的解法。

关键词：凹面轨道；摩擦力；做功；向心力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）2-0046-3

对于物体沿竖直平面内的圆弧轨道运动，由于物体跟轨道接触面的弹力与向心力有关，而向心力的大小与速率有关，因此受到接触面的摩擦力大小与物体的运动速率有关。在圆弧上不同位置的摩擦力大小不同，在不同过程经过同一位置的摩擦力大小也不同。

1 克服凹面摩擦力所做的功

如图1所示，斜面长为l，倾角为θ。一个质量为m的物体沿斜面由顶端向下滑动，动摩擦因数为μ。则物体克服摩擦力所做的功为Wf=μmglcosθ=μGx。

可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动时，克服摩擦力所做的功等于动摩擦因数、重力的大小和水平位移的大小三者的乘积。

如图2所示，假设物体沿圆弧轨道AB缓慢下滑一小段圆弧Δs，可视为斜面。则到达C点时受到的摩擦力为f=μmgcosθ，克服摩擦力做的功为ΔWf=μmgcosθ·Δs。由于Δs·cosθ表示物体在水平方向的位移Δx，因此ΔWf=μmg·Δx。由微元累加法可知，在沿圆弧路径运动的过程中，物体在水平方向的位移为x=R。所以，物体在缓慢下滑过程中克服摩擦力所做的功为Wf=μmgR。

一般来说，若物体沿斜面运动或沿凹面缓慢运动，克服摩擦力所做的功等效于物体沿轨道的水平投影面运动时克服其摩擦力所做的功，即Wf=μGx。

如果物体在凹面上运动的速度较大，则摩擦力大小与速度有关。因此，公式Wf=μGx不成立。如果物体在凹面上做变速运动，则在不同位置受到的向心力不同，使物体受到的支持力大小不同，因此摩擦力大小不同。那么，物体经过相同的路程克服摩擦力所做的功不同，而且速度越大，克服摩擦力所做的功就越多。

2 错题或错解

解析 设物体在AB段克服摩擦力做的功为Wf，对物体由A到C运动过程运用动能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）=0.4mgR。

探讨 该结果是错的。假设物体缓慢下滑，则在AB段克服摩擦力所做的功为Wf=μmgR。

但实际上，物体下滑过程是变速圆周运动，速度逐渐增加。由向心力FN-mgcosθ=可知，FN>mgcosθ，因此Wf >μmgR。对物体由A到C运用动能定理有mgR-μmgR-Wf=0，

则mgR-μmgR>μmgR，

即2μmgR

由于题中μ=0.6，因此物体不能滑到C点。故该题是一道错题。

例2 如图4所示，凹陷于地面的半圆形轨道的半径R=0.4 m。一个质量m=0.5 kg的小球从距离地面高H=5 m处自由下落，到达地面时恰能沿轨道运动。到达轨道最低点时速率恰好为10 m/s，并继续沿轨道运动直到从轨道左端边缘飞出且沿竖直方向上升、下落，如此反复几次。设摩擦力大小恒定不变，小球与轨道碰撞时不损失能量，求：

（1）小球第一次飞出轨道上升距水平地面的高度h为多少？

（2）小球最多能飞出轨道之外几次？（取g=10 m/s2）。

n只能取整数，即小球最多能飞出轨道6次。

探讨 上述解法是不正确的，因为小球运动的速度越来越小，则对轨道的压力越来越小，因此摩擦力越来越小。那么，在小球从最低点运动到轨道左端的过程中克服摩擦力做的功小于2 J。因此，每次通过圆弧轨道的过程中克服摩擦力所做的功越来越少，并非保持4 J不变。这样无法得到答案，只能“设摩擦力大小恒定不变”，但该题设与客观实际不相符。

3 典型题分析

例3 如图3所示，用同样材料制成的一个轨道，AB段圆弧，半径为R，水平放置的BC段长度为R。物体质量为m，与轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C点静止。那么，物体在AB段克服摩擦力所做的功为（ ）

解析 设物体在AB段克服摩擦力做的功为Wf，则物体由A到C由动能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）。故选项B正确。

拓展 若用一个沿轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由C点移动到A点时停下，那么，推力所做的功为多少？

解析 由于滑块缓慢运动，则可忽略向心力对轨道压力的影响，可知物体在AB段克服摩擦力做的功为Wf=μmgR。由功能关系可知推力所做的功为

W=mgR+2μmgR=mgR（1+2μ） 。

例4 如图5所示，高度为h的弧形轨道AB与水平轨道BC的粗糙程度相同。质量为M的物体从顶点A开始下滑，到C点停止。要使物体沿原轨道恰好能回到A点，可有两种办法：用沿轨道切线方向的推力F缓慢推物体，或在C点给物体一初动能Ek。若只采用其中的一种办法，则下列几种方式中可行的是（ ）

A.推力F做的功为W=2mgh

B.推力F做的功为W<2mgh

C.物体的初动能为Ek>2mgh

D.物体的初动能为Ek<2mgh

解析 对物体下滑过程，运用动能定理有

mgh-WfAB-WfBC=0。

若用平行于轨道的推力将物体缓慢地从C点推到A点，根据动能定理有

W-mgh-W'fAB-WfBC=0，

若WfAB=W'fAB，则推力做功W=2mgh。

由于下滑时经过某点的速度大于缓慢上升时经过同一点的速度，因此，下滑时经过此点时受到的摩擦力大于缓慢上升时经过同一点物体受到的摩擦力。可知下滑时克服摩擦力做功多，即WfAB大于W'fAB，所以推力做功W<2mgh。

在弧形轨道上任取一点P，到A点的竖直高度为h'，对物体从A点到P点的下滑过程，由动能定理有mgh'-Wf=Ek1。

对物体从P点到A点的上升过程，由能量守恒定律有

Ek2=mgh'+W'f，可知Ek1mgh'。

因此，对于弧形轨道上的每一点，都应是上升时的速度大于下滑时的速度。则上升时对轨道的压力较大，受到的摩擦力较大，那么克服摩擦力做的功较多，即W'fAB>WfAB。

在下滑过程中，对全过程运用能量守恒定律有mgh=WfAB+WfBC。

在上升过程中，对全过程运用能量守恒定律有，Ek=mgh+W'fAB+WfBC，

由于W'fAB>WfAB，所以Ek>2mgh。故选项B、C正确。

例5 将例2变化一下。一质量为m的小球，从离半径为R、粗糙程度相同的半圆轨道上端A点H处自由下落，刚好落入半圆轨道且能从B端冲出，又竖直向上升起高度为h，不计空气阻力。已知m=0.1 kg，H=0.5 m，h=0.4 m，R=0.1 m，若小球能从B端返回轨道，则下列选项正确的是（ ）

A.小球第一次到达C处受到轨道的弹力为12 N

B.小球第一次到达C处受到轨道的弹力小于12 N

C.小球第一次从A端冲出后上升的高度为0.3 m

D.小球第一次从A端冲出后上升的高度大于0.3 m

解析 由题意可知第一次从静止下落到上冲到左侧最高点过程中克服摩擦力做的功为机械能的减少量，Wf=mg（H-h）=0.1 J。由于从A到C过程的平均速率大于CB过程，平均摩擦力大，则克服摩擦力做的功Wf1应该大于0.05 J。那么，从C到B克服摩擦力做的功Wf2应该小于0.05 J。由能量守恒定律有mg（H+R）-Wf1=mv2。

由牛顿第二定律和向心力公式有FN-mg=，由于Wf1>0.05 J，解得FN<12 N。

从B返回到A过程中克服摩擦力做的功小于从A到B过程中克服摩擦力做的功，即应该小于0.1 J，而不是等于0.1 J。由于从A到B过程中的高度差为0.1 m，那么从B返回到A过程中的高度差应小于0.1 m，所以从A端冲出后上升的高度应大于0.3 m。故选项B、D正确。

参考文献：

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[3]张飞翔.半定量分析法在物理教学中的应用[J].中学物理，2012，30（9）：55—56.

[4]施剑峰.关注物理过程中的“伪对称”[J].中学物理，2013，31（9）：77.

（栏目编辑 陈 洁）