用好先后原则 解好排列组合

用好先后原则解好排列组合

◇河北刘淑苹

计数问题是高考必考内容之一,常以选择或填空等客观题形式出现．题小但考查能力要求较高,而且此类问题又是计算概率的基础．解好此类问题除了熟练相关的原理外,掌握一定的解题策略也是必需的．下面对应用较频繁的几个先后原则,举例说明．

1先分类后分步

分类加法原理与分步乘法原理是解答此类问题的基础．解题中要明确分类的对象,确定好分类原则,做到不重不漏．再对每类进行分步解决．

例12人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有().

A10种;B15种;

C20种;D30种

先胜3局者获胜,在决出胜负时共赛了几局并不明确,因此需要先对可能的比赛局数进行分类讨论, 再对每类下面每局的胜负情况进行分步处理．处理此类比赛问题需要注意,决出胜负的最后一局的结果是确定的,即一定是胜的一方赢得此局．这是同学们容易忽略的地方．

2先特殊后一般

对于有限制条件的特殊元素进行优先处理,是解决此类问题的重要原则．特殊通常体现在元素特殊、条件特殊或位置特殊等．

例2用0,1,2,…,9这10个数字组成无重复数字的5位数,其中含有2个奇数数字和3个偶数数字的5位偶数共有多少个?

数字0是特殊元素,应对0进行分类讨论:

综合1)、2)总共有6480个5位偶数.

3先分组后分配

对于有限制条件的分配问题,通常先将待分配的元素按条件进行分组．再将分好的各组按全排列的方式分配到不同的岗位．

例35张电影票分给4个学生,每个学生至少1张,不同分法的种数为().

A480;B240;C120;D96

在有序的排列组合问题中,对于某个对象所包含的若干元素而言却是无序的．对于这些无序元素的选取只能一次取出而不能“分批”选取,否则就意味着把无序问题“有序化”了．一般地,关于分配的应用问题,较好的方法是先分组、再分配,这样计算既没有重复,也不会遗漏．

4先整体后局部

先整体安排好没有限制条件的元素,然后在排好的元素之间的空位和两端插入不能相邻的元素.

例4已知有身穿2种不同队服的球迷各3人,现将这6人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为________(用数字作答)．

不相邻(相间)问题的插空法:实质是一般“元素”(位置)优先考虑,第1步先将没有限制的元素(位置)排好,第2步再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置．

综上解题策略事实上是基于2个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.同学们做题时只要留心容易出错的地方,就能够以不变应万变,把排列组合学好．

链接练习

1. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).

2. 将A、B、C、D、E、F 6个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).

3. (2015年四川)用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的5位数,其中比40 000大的偶数共有()个.

A144;B120;C96;D72

4.(2015年上海)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示).

链接练习参考答案

1. 590;2. 480;3. B.4. 120.

(作者单位：河北省承德市承德县第一中学)