广义逆及其在线性方程组中的应用

陈保周

摘 要：现实生活中，很多现实问题最终都可以转化成线性方程组的求解问题，如何求解线性方程组的解成为解决很多问题的关键。线性代数课程中可以解决系数矩阵为可逆方阵的线性方程组的解的问题，而对于系数矩阵不是方阵或者不可逆的时候，是没有很好的方法的。本文首先给出了一般矩阵广义逆的概念。然后利用矩阵的广义逆指出了线性方程组解的存在条件，并给出了具体的求解步骤，最后列举了具体的求解实例。本文的研究对于一般线性方程组的求解问题具有一定的指导意义。

关键词：矩阵；广义逆矩阵；线性方程组；最小二乘解

一、引言

现实生活中，很多现实问题最终都可以转化成线性方程组的求解问题，如何求解线性方程组的解成为解决很多问题的关键。线性代数课程中对于相容线性方程组 ，如果矩阵 是方阵且可逆，那么线性方程组的解。对于不相容的方程组我们通常称为无解。无解的线性方程组是很乏味且没有实际意义的。但事实上，在很多实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，我们所遇到的方程组往往是不相容的方程组。所以，我们就在想当一个方程组的系数矩阵不是方阵或者不可逆的时候，是不是也存在类似的解的表达形式呢？对于这类问题，E.H.Moore于1920年在美国数学会上提出了他的广义逆矩阵的一个论文摘要。论文发表在他死后的1935年。直到1955年，R.Penrose发表了和E.H.Moore等价的广义逆矩阵理论，同年Rao提出了更一般的广义逆矩阵的概念。广义逆矩阵的出现，不仅从理论上还从实际应用上使得线性方程组的理论更加系统化，为线性方程组的求解问题提供了更广阔的思路。当一个方程组的系数矩阵不是方阵或者不可逆的时候，我们不能求得的解，而可以利用广义逆矩阵求得 使得 最小，当为欧式范数时，这样的解称为线性方程组的最小二乘解。这就是本文将要讨论的问题。

二、相关定义与定理

定义1 设 是行最大秩的 阶实矩阵 ，如果存在一个阶矩阵 ，当右乘后得到一个 阶单位阵I，即 则叫做的右逆，

记作 （1）

一般来说，右逆 可用下面的方法来计算，因为是 满秩的方阵，故有 （2）

比较式（1） 和（2），可得 （3）

定义2 设是列最大秩的实矩阵，如果存在一个阶矩阵，当左乘后得到一个 阶单位阵，即 （4）

则 叫做的左逆，记做 ，这就是说，有 （5）

同理可得计算的公式是 （6）

这里值得指出的是，对于行（或列）最大秩的阶矩阵，和是不可能同时存在的。显然，当且仅当 时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵 。

定义3 设复矩阵，若有一个矩阵，满足：

及 （AX）H=AX，

则称为的最小二乘广义逆，记作

定理1 不相容方程组AX=b有最小二乘解

， （7）

其中是的最小二乘广义逆.

证明 设是的一个最小二乘广义逆，，于是对任意的恒有，

所以，是不相容方程组Ax=b的最小二乘解.

必须注意，矛盾方程组（不相容方程组）的最小二乘解导致的误差平方和（即在最小二乘意义下）是唯一的，但是，最小二乘解可以不惟一。为此，有下面的定理。

定理2 不相容方程组Ax=b的最小二乘解可表示为

， （8）

其中是任意列向量.

证明 先证（8）式中的确为最小二乘解.因为是Ax=b的最小二乘解，所以取最小值，而，所以，

也取最小值，即为最小二乘解.

再证Ax=b的任一个最小二乘解必可表示成（8）式的形式.事实上，类似于定理1的证明有

从而有，即，这说明 为齐次线性方程组Ax=0的一个解，所以，

，即 ，

其中是任意列向量.

如定理2所述，不相容方程组的最小二乘解不是唯一的，而由前面章节知道最小二乘广义逆也不是唯一的，并且，最小二乘广义逆的通式与最小二乘解的通式（8）形式上有类似之处。

三、实例分析

在最小二乘解、曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算不相容方程组的最小二乘解.广义逆矩阵的理论使得求不相容方程组最小二乘解的方法简单化、标准化、规范化了.整个求解过程的关键在于求出的最小二乘广义逆，而用不着先求误差平方和，再利用极值条件，最后求解一个新的方程组等一系列烦琐的步骤。

参考文献：

[1] 徐仲等. 矩阵论简明教程[M].北京：科学出版社，2005.6

[2] 王松林，杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社，1996.

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[4] 周卫春.矩阵广义逆在线性方程组求解中的应用研究[J]物流工程与技术2013（2）

[5] 周金森.广义逆矩阵与线性方程组的解[J]漳州职业技术学院学报 2006.04第8卷第2期