也谈数学思维的培养

姚 勇

（四川甘孜州新龙县中学 四川甘孜 626800）

也谈数学思维的培养

姚 勇

（四川甘孜州新龙县中学 四川甘孜 626800）

数学思维的培养是一个长期而复杂的培养过程，方式方法多种多样，因人而宜。本人长期从事民族地区的初中数学教育工作，总是有感于本地学生数学基础的单薄，数学思维的低层次，觉得本地学生的数学思维需要进一步地培养，本文主要谈谈对于数学思维培养的一些个人看法。

集中思维 定向思维 初中

具体的数学思维过程往往不是一种思维方式的运用，而是一些数学思维方式的有机结合。要正确地进行数学思维，获得数学知识和解决数学问题，发展数学思维。集中思维和发散思维就是其中一种重要的方式。

一、集中思维和发散思维的概念

集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。[1]

发散思维是对已知信息进行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。发散思维在思维方式上具有逆向性，侧向性和多向性。在思维内容上具有变通性和开放性。它对推广原则问题，引申旧知识，发现新方法等具有积极的开拓作用，因此创造能力更多地寓于发散思维之中。

二、思维的缺陷

集中思维在思维方式上具有定向性、层次性和聚合性。定向思维是集中思维的一种形式，它是按照常规习惯形成的沿着固定方向，采用一定的模式或方法进行的对问题的分析思考。由定向思维所造成的思维的趋向性或专注性状态就称为思维定势，它是开展有成效的思维活动的一个重要条件。但是过分强调后却容易引起负迁移吗，表现出思维僵化，呆板等封闭性，而不能从多角度，全面地，整体地看问题。特别是在解决一些非常规的或探索性，开放性的数学问题时就会束手无策。

比如初中数学中平行线的判定性质这一部分内容就具有明确的定向性，由平行线可得出相关的性质，由角的一些关系可得出两直线平行，这部分内容后边的习题也总是围绕着这些展开。从集中思维的定向性来说，要证明两条直线平行，首先应该想到学的那几种判定方法，然后从中选出满足条件的方法就可以了。大部分学生知道要从几种判定方法中去寻找满足条件的方法，但是要确定哪一种方法满足条件对于本地学生来说就太困难了，我感觉他们一看到这几种方法而要找出满足条件的那一种，大脑中是一片混乱的，这就是数学思维的欠缺，集中思维的不熟习，也就是集中思维的不成型，主要原因是原来的集中思维的训练不够，图形识别能力又太差，汉语基础也不好，能理清这个思维过程就比较难了，再要求写出证明过程真是太难了。大多数学生是知难而退，对数学的学习再也没了兴趣，最终放弃了数学的学习。

三、利用集中与发散思维的关系培养数学思维

1．集中思维和发散思维的关系

集中思维和发散思维在数学思维过程中时紧密联系交替使用的。以解决数学问题而言，总体的目标是寻求最佳答案，这是集中。但就思维过程的局部而言，主体需要运用题目的条件和结论给出的信息进行广泛的联想，这是发散。接着可能由此得出多种解题的思路或方法，这也是发散。最后需要逐个地按既定思路前进使问题得到解决，这又是集中。由此可见，集中思维和发散思维既是数学思维具体过程的使用方式，也是局部分别采用的思维方式。一个完整的数学思维过程是这两种思维方式的有机结合。而人们常常是以整体思维过程的主要倾向来衡量其发散性或集中性的。

集中思维的结果表现为使主体的认知结构趋向稳定和加强，使主体对知识的理解更加透彻和深刻。发散思维的表现形式除了在解决数学问题时的逆向思维，倾向思维和多向思维外，还包括对数学概念的拓广，知识的引申和方法的变化等。发散思维的结果将使主体的认知结构吸收新知识，容纳新思想，使知识结构得到更新和发展。

集中思维过程的主要依据是逻辑推理和形式思维，通常较多分析，综合，演绎，概括和系统化等方法达到目的。发散思维过程的主要依据则是似真推理和辩证思维，通常较多地运用分析，比较，类比，归纳和探索性演绎等方法进行猜想，想象，引申以寻求变异，并用动态，转化，变换等思想观点来处理问题。

2．如何培养数学思维

定向思维可以解决大量的常规数学问题。虽然解决的过程有简单和复杂之分，所运用的知识和技巧有单一和综合程度的不同，但是常见的题型，基本知识和方法的运用，总是表现出大同小异。因此，培养定向思维能力是数学教学中起始的，大量的，带有基础性的教学目标之一。没有熟练的定向思维能力就不可能进一步发展变异的发散思维。这种辩证关系要全面理解才不会轻视定向思维的重要作用。即既要看到它的消极面，也要看到它的积极面，并且应注意积极面是其主要的方面。这种解题实例在数学教学中俯拾皆是。为了防止思维定势的负迁移，在按常规方式解题时必须注意思维进程的严密性。即不应造成对题给条件的遗留或添加，注意推理的充分性和必要性。

纵向思维是集中思维的另一种形式，它是把思维目标沿着逐步深入的方向分解成若干个前后联系的小目标，通过小目标的逐个解决达到解决大目标的思维方式。这种思维同样也反映了思维过程的连续性，渐进性和联结性，但是它更强调思维环节之间的层次性和因果性。在解题时，通常是把原问题分成若干个纵深联结的小问题，前面小问题的解决时为了后续小问题的解决服务的。

3．结合学校实际的具体措施

首先，必须提高本地学生的汉语言水平，应该让她们从小就要学习或接触汉语，最好从幼儿园就学习汉语，要是上了小学再学习汉语的话个人感觉有点晚了，因为能听懂汉语大多数都是小学三年级了，有的甚至是小学四、五年级了，对于多数用汉语教学的数学来说，其效果可想而知。

其次，可以适当加大学生的数学的习题量，因为常见的题型其基本知识和方法总是表现出大同小异，培养定向思维能力是数学中起始的带有大量的基础性的教学目标之一，没有熟练的定向思维就不可能进一步发展变异的发散思维。适当增加习题量也可以培养学生的运算能力，运算能力其实也是一种定向思维。

总之教学中培养学生的集中思维能力和发散思维能力这两者相辅相成，不可偏废。

[1]姜涛. 集中思维与发散思维在数学中的辩证运用[J]. 河南科技,2014,(01):278-279.