向量，“爱你”不容易

阚丽波

平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及角度、平行、垂直、共线、共点等问题。我们将通过下面的典型问题向大家展示向量作为强大的数学工具，在解决几何问题方面不俗的表现。

一、利用向量共线解决两直线平行问题

在平面向量中两个向量平行指如果有一个实数λ，使b=λa（a≠0），那么b与a是共线向量；反之，如果b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。而两直线平行并不能等同为两条直线共线，它要求两直线不重合。

例1 已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求证：A，B，C三点共线。

分析 点共线可以与向量共线相互转化。

二、利用向量数量积为0解决垂直问题

利用平面向量的数量积的有关运算可以用来解决解析几何中有关轨迹方程的问题。

例2 证明：圆x²+y²=r²上一点M（x₀，y₀）处的切线的方程为xx₀+yy₀=r²。

分析 过圆上的一点的切线性质即：切线与过切点的半径互相垂直。

证明 设切线上除切点M外任意一点P（x，y），由圆的切线性质可知，OM⊥MP，

点评 利用向量的方法，我们可以省去对直线的斜率存在情况的讨论，这体现了向量方法的简捷性。

三、利用两向量所成的角求两直线所成的角

在平面向量中两个向量所成角的范围是[0，π]，而两条直线所成的角指两直线相交所成的四个角中最小的一个角，即两条直线所成的角的范围是[0，π/2]。

例3 已知直线l₁：x一2y=0和l₂：x+3y-1-0，求直线l₁和l₂的夹角。

分析 我们只要分别在两直线上截取向量，运用向量所成的角与直线所成的角的相互关系即可解决。

解 在l₁上取两点，如（2，1），（0，0），记向量a=（2，1）-（0，0）=（2，1）；在l₂上取两点，如（4，-1），（1，0），记向量b=（4，-1）-（1，0）=（3，-1），

所以θ=π/4，因为l₁和l₂的夹角为锐角，所以直线l₁和l₂的夹角为π/4。

向量作为一种解题工具，它的灵活运用能够简化我们的运算。同学们只要细心观察，还将有好多的例子，相信你们能更加“喜欢”向量。