方阵A的全体多项式所成线性空间的一个结论

王 爽， 陈 莉

（新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054）

方阵A的全体多项式所成线性空间的一个结论

王 爽， 陈 莉

（新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054）

多项式是代数学中最基本的对象，文章根据方阵的运算和线性空间的一些基本定义和性质，以及方阵A的最小多项式的基本性质，给出了关于方阵A的全体多项式所成线性空间的维数的一个结论，是最小多项式的又一应用。

线性空间；方阵的运算；维数

在《高等代数》教材中，对矩阵的特征多项式及性质阐述的较多，Cayley-Hamilton定理说明矩阵代入特征多项式总是零，所以特征多项式所携带的信息比较少，只反映了特征值及其代数重数，而多项式是代数学中最基本的对象，不但与高次方程的讨论有关，且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到。其中阐述较少的矩阵最小多项式是多项式理论中重要的一部分，最小多项式从一定程度上反映出特征值的亏损程度，比较重要的性质是：1.矩阵A的极小多项式以A的所有特征值为零点；2.最小多项式是特征多项式的因子；3.A可对角化的充要条件是A的最小多项式没有重根。最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程及求解常系数齐次线性微分方程组中都有极为重要的应用。

目前计算方阵An×n的最小多项式的方法主要有四种，第一种是利用方阵An×n的最后一个不变因子，第二种是利用方阵An×n的特征多项式的标准分解式，第三种是利用Jordan标准形，第四种是利用方阵An×n的幂系列的线性相关性，当然还有利用初等变换求最小多项式等方法。

方阵An×n最小多项式的性质和求法已有较多结论，文章利用其最小多项式的次数得到了关于方阵An×n的全体多项式所成线性空间的维数的一个确定方法。

1.定义：非零多项式φ(λ) ，如果φ(An×n)=0，则称φ(λ)为方阵An×n的化零多项式，An×n的化零多项式中次数最小的首系数为1的多项式称为An×n的最小多项式，记为m(λ)。

2.引理一：（1）An×n的任一化零多项式均为它的最小多项式的倍式，从而特征多项式被最小多项式整除；

（2）An×n的最小多项式m(λ)唯一；

（3）相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明：（1）设φ(λ) 使得φ(An×n)=0，作多项式带余除法，φ(λ) =ϕ(λ)m(λ) +r(λ)；

若r(λ) ≠ 0，则r(λ)的次数

由m(A)=0，得r(A)=0，这与m(λ)为An×n的最小多项式定义矛盾，

∴r(λ)=0，即φ(λ) =ϕ(λ)m(λ)或m(λ) 整除φ(λ)；

（4）若另有m1(λ)，使m1(A)=0，则由（1），m(λ)整除m1(λ)，同理m1(λ)整除m(λ)，两者均首系数为1，∴同理m1(λ)=m(λ)。

（5）证明：设矩阵A与B相似，mA(λ)，mB(λ)分别为它们的最小多项式，

由A相似于B，存在可逆矩阵T，使B=T-1AT，

从而mA(B)=mA(T-1AT)=T-1mA(A)T=0

∴mA(λ)也以B为根，从而mB(λ│)mA(λ)，同理可得mA(λ│)mB(λ)，

又mB(λ)，mA(λ)都是首系数为1的多项式，∴mA(λ)=mB(λ)。

注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似。

但A与B不相似，

即| λE-A|≠| λE-B|。

结论：方阵An×n的全体多项式所成线性空间W，其维数等于An×n的最小多项式m(λ)的次数k?。

证明：先证明W的维数≥k，利用反证法：假若W的维数

其次，证明任何 f(A)均可用I,A,…,Ak-1来线性表出，这只要证明s≥k时，As均可用它们线性表出即可。

若m(λ)=λk，则Ak=0，s≥k时，As=0，此时显然正确；

若m(λ) ≠ λk，即m(λ) 不整除λs，用λs与m(λ)作带余除法，

设λs=q(λ)m(λ) +r(λ) ，其中r(λ)的次数

此时As可以表示为I,A,…,Ak-1的一个线性组合，

∴W的维数≥k；综合起来：W的维数=k.

［1］冯红.高等代数全程学习指导［M］.辽宁：大连理工大学出版社，2004：199-223.

［2］同济大学数学系.线性代数［M］.北京：高等教育出版社，2007：138-153.

［3］张禾瑞，郝炳新.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2007：312-353.

［4］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003：303-313.

A Conclusion on the Linear Space of All Polynomials of Square Matrix A

WANG Shuang，CHEN Li
（College ofMathematical Sciences，Xinjiang NormalUniversity，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

Polynomial is themostbasic objects in algebra.In this paper,according to the operationsof square matrix A and some basic definitions and properties of linear space,aswell as the basic properties of theminimum polynomials associated with squarematrix A,we present a conclusion concerning on the dimension of the linear space consisting of the set of polynomials associated with squarematrix,which can be viewed as an application of minimum polynomials.

Linear space；Matrix operation；Dimension

Q155

A

1008-9659（2016）02-0056-02

2016-03-19

新疆师范大学本科教学质量工程建设教学研究与改革项目资助（SDJG2015-17）。

王 爽（1978-），女，新疆石河子人，硕士学位，讲师，主要从事偏微分方程数值解研究。