宽带认知雷达低峰均比波形快速设计算法

唐波电子工程学院 504教研室， 合肥 230037

宽带认知雷达低峰均比波形快速设计算法

唐波*
电子工程学院 504教研室， 合肥 230037

发射波形设计是宽带认知雷达系统的关键技术。为了提高宽带认知雷达系统对距离扩展目标的检测性能，建立了目标检测模型，分析了系统的检测性能,在此基础之上研究了基于最大输出信干噪比(SINR)的低峰均比(PAR)波形设计算法。通过将原波形优化问题等效为接收权值与低峰均比波形的联合优化问题，同时利用循环优化的思想，提出了一种低峰均比波形快速设计算法。相比于现有的梯度法以及凸优化算法，该算法所设计的恒模波形信干噪比与二者相当，但算法实现难度明显变小，计算复杂度明显降低。仿真结果证实了算法的有效性。

宽带认知雷达； 距离扩展目标； 波形设计； 低峰均比(PAR)波形； 输出信干噪比(SINR)； 循环优化

认知雷达是一种能够感知和理解复杂电磁环境并在此基础之上进行推理决策的新体制雷达系统[1-2]，是未来雷达系统的重要发展方向之一，近年来在国内外引起了巨大的关注。在认知雷达系统中，基于所感知的环境以及目标先验知识设计发射波形是关键技术之一，有助于显著地提高系统在复杂环境中的目标检测、参数估计、跟踪及识别性能[3-8]。

宽带认知雷达是指发射大带宽信号的认知雷达系统。宽带雷达系统具有很高的距离分辨率，相比于窄带雷达系统在目标成像以及识别等方面具有明显的优势[9]。与此同时，很多目标的尺寸超过了系统距离分辨单元的大小，不能再视作点目标，因此雷达视线方向上的多个强目标散射点回波就会分布在多个距离单元中。在宽带雷达系统中，这类目标又被称为距离扩展目标[10-11]。为了提高宽带认知雷达系统对于距离扩展目标的检测性能，系统设计发射波形时必须恰当地选择优化准则。目前有2种准则可用于设计面向检测性能最优的认知雷达发射波形。其中第1种优化准则引入了信息论中的相对熵概念[12-14]。当发射波形使得2类假设概率密度分布之间的相对熵达到最大时，则系统的检测性能可以渐近地达到最优。第2种则基于最大化输出信干噪比(SINR)来优化发射波形[15-19]。然而基于最大输出信干噪比的现有波形设计方法大都仅考虑了波形的发射能量约束。在工程实际中，为了能够使得雷达发射机工作在饱和状态以便发挥其最大效能，同时为了避免放大器的非线性使得发射波形失真，通常要求雷达发射波形具有较低的峰均比(Peak-to-Average Power Ratio, PAR)或者恒定包络[20-21]。因此实际系统设计发射波形时还必须考虑波形的峰均比约束。文献[18]研究了基于最大化输出信干噪比的宽带认知雷达恒模波形设计方法，并提出了一种基于梯度下降法的波形优化算法。文献[19]则利用半正定松弛(Semidefinite Relaxation, SDR)以及凸优化算法来设计使得输出信干噪比最大的恒模波形。然而需要指出的是，梯度下降法以及凸优化算法只能设计恒模波形，不能设计任意峰均比约束下的雷达发射信号。此外，这2种算法运算量很大，难以设计长码波形，进而影响宽带认知雷达系统的最大作用距离。

本文建立了宽带认知雷达的目标检测模型，分析了系统的检测概率和虚警概率。为了改善系统检测性能，在此基础之上研究了基于最大化输出信干噪比的低峰均比波形设计算法，并提出了一种快速设计算法。该算法所设计的波形检测性能与现有算法相当，但复杂度明显降低。

1 信号模型

将宽带认知雷达的发射信号记为s(t)。如果雷达天线波束内存在目标，如图 1所示，雷达回波信号y(t)可以写为

(1)

式中：τ1为距离雷达最近的目标散射点双程延时；τ2为距离雷达最远的目标散射点双程延时，即目标径向尺寸约为c(τ2-τ1)/2，c为光速；h(τ)为目标冲激响应；n(t)为外部干扰和接收机噪声。为方便后续处理，对雷达回波信号y(t)进行模数转换，将其变为数字信号，记为y，并注意到目标回波为冲激响应与发射信号的卷积，则不难得出

y=h⊗s+n

(2)

式中：h为长度为P的目标冲激矢量，P为目标散射点数，取决于目标径向尺寸以及系统距离分辨率；s为经过离散化后的发射波形，长度为L；n为长度为(L+P-1)的噪声及干扰矢量；⊗为卷积运算符。根据卷积运算定义，不难得出y又可写为

图1 宽带认知雷达目标检测示意图

Fig.1 Illustration of wideband cognitive radar detection

y=Hs+n

(3)

式中：H为(L+P-1)×L维卷积矩阵，其表达式为

(4)

当雷达天线波束内不存在目标时，则雷达回波信号可以写为

y=n

(5)

基于以上结果，可以建立如下的二元假设检验模型用于检测雷达回波中是否存在目标：

(6)

为简单起见，假设目标冲激矢量h为确定矢量(非随机)，n服从均值为0、协方差矩阵为R的复高斯分布，则目标回波y在两类假设下的概率密度函数可以分别写为

(7)

P(y|H1)=

(8)

利用似然比检验[22]，不难得出最优检测器为

(9)

式中：T为门限。

在H0假设下，检测器服从均值为0、方差为sHHHR-1Hs/2的高斯分布，因此虚警概率满足

(10)

式中：erfc(·)为余补误差函数，是x的单调递减函数，其表达式为

(11)

在H1假设下，检测器服从均值为sHHHR-1·Hs、方差为sHHHR-1Hs/2的高斯分布，因此检测概率为

(12)

利用式(10)，目标检测概率可以进一步写成

(13)

式中：erfc-1(·)为余补误差函数的逆函数。由于erfc(x)随着x单调递减，因此目标检测概率PD是输出信干噪比

SINR=sHHHR-1Hs

(14)

的单调递增函数，故而输出信干噪比的大小直接关乎系统检测性能的优劣。接下来讨论如何设计波形s使得输出信干噪比最大。

实际系统中雷达发射信号的能量总是有限的。不失一般性，假设发射信号的能量不超过L，即

sHs≤L

(15)

在认知雷达系统的波形设计中，假设已有目标和环境的先验知识[23]，因此能量约束下的波形设计问题可以建模为

s.t.sHs≤L

(16)

很明显，当雷达发射信号仅受限于发射能量时，最优发射波形为

s=(HHR-1H)

(17)

由于工程实际需要，设计发射波形时需要考虑雷达波形的低峰均比约束，其中峰均比定义为

(18)

式中：s(l)为波形s的第l个采样。

考虑峰均比约束后，宽带认知雷达的发射波形设计可以建模为如下的优化问题：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(19)

不难发现1≤PAR(s)≤L。当γ=1时，s为恒包络信号；当γ=L时，则峰均比约束为冗余约束，上述优化问题的解为式(17)。由于峰均比约束高度非凸，因此很难求得式(19)的全局最优解。

2 波形快速设计算法

为了能够设计码长较长的低峰均比发射波形并减小波形设计运算量，下面给出一种快速设计方法。首先证明式(19)中的优化问题与式(20)等价：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(20)

式(20)是一个发射波形s与接收权值w的联合优化问题，但约束条件只与发射波形s有关，而与权值w无关。不难看出式(20)存在无穷多解，这是因为如果(wopt, sopt)是式(20)的可行解，则(αwopt, sopt)也是可行解，即权值w的尺度变化不影响目标函数的取值。此外，当波形s固定时，最优权值w可以通过如下优化问题获得:

(21)

将Hs等效为导引矢量，则式(21)与阵列信号处理中经典的最小方差无失真响应(MinimumVarianceDistortlessResponse，MVDR)[24]是等价的，即式(21)等价于

s.t.wHHs=1

(22)

可以定义如下拉格朗日乘子函数求解式(22)中的优化问题:

F(λ)=wHRw+λ(wHHs-1)

(23)

式中：λ为拉格朗日乘子。

将式(23)对w求导并令求导结果为0，并注意到权值w的尺度变化不影响目标函数的取值，可得式(21)的最优解为

wopt=R-1Hs

(24)

且目标函数最大值为sHHHR-1Hs。因此通过一步优化，可以将式(20)中的联合优化问题转化为式(19)中的优化问题，故而式(20)与式(19)等价。

可以使用循环优化方法[21,25]求解式(20)中的联合优化问题，即每一次迭代中，将其分解为两个相对独立的优化问题：① 固定波形s(i)优化权值w(i)；② 固定权值w(i)优化低峰均比波形s(i+1)。很明显，第①步优化结果由式(24)给出。接下来讨论第②步优化的求解方法。在第②步优化中，需要求解如下优化问题：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(25)

注意到式(25)目标函数的分母与波形s无关，故可以将其简化为

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(26)

记v(i)=HHw(i)。如果γ=1(恒定包络约束)，则利用基本代数不等式，可得出

(27)

当且仅当

s(l)=exp(j∠v(i)(l))

(28)

时不等号成立。

式中：v(i)(l)为v(i)的第l个元素；∠v(i)(l)为v(i)(l)的相位。即最优解为

s(i+1)=exp(j∠v(i))

(29)

如果γ≠1，则可证明式(26)与下面的优化问题等价：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(30)

很明显

(31)

将式(30)的最优解记作s(i+1)，并记

(32)

如果φ0≠0，则

以及

(33)

与s(i+1)的最优性相矛盾，因此式(30)的最优解必然满足

(34)

故而式(26)与式(30)等价。此时便可以利用文献[26]中的最近邻迭代算法求得式(30)的最优解。

综上，宽带认知雷达系统的低峰均比波形设计算法可以总结如下：

步骤1 i=0，初始化波形s(i)。

步骤2 i=i+1，利用式(24)计算w(i)以及利用最近邻迭代得到s(i+1)，计算输出信干噪比SINR(i+1)。

注意到v(i)=HHw(i)=HHR-1Hs(i)，因此如果能够事先计算好HHR-1H，则可以进一步减少本算法的运算量。

与文献[18]中的梯度下降法以及文献[19]中的凸优化算法相比，本算法实现简单，且能够设计任意峰均比约束下的雷达波形。在设计恒模波形时，本算法每一步迭代的运算量可以控制在O(L2)的量级，远低于梯度法O(L3)的运算量以及凸优化算法O(L4.5)的运算量，且对存储的要求很低，能够设计很长的码长。

3 数值仿真与分析

为验证算法的有效性，考虑信号带宽为100MHz的宽带认知雷达系统，波形采样后的长度L=50，目标占据的距离单元数P=20，目标冲激响应如图2所示。干扰及接收机噪声n采用一阶自回归(AR)过程建模，AR过程的相关系数ρ=0.9。

图2 目标冲激响应

Fig.2 Target impulse response

图3为本文算法所设计的波形信干噪比随着迭代次数的变化曲线，其中采用随机生成的伪正交相位编码信号作为算法的初始值，迭代截止门限ε=10-6。可以看出，本文算法收敛很快，收敛后输出信干噪比约为6.16dB，接近于能量约束下的最大信干噪比(约为6.41dB)。而采用相同带宽的线性调频(LinearFrequencyModulation,LFM)信号，输出信干噪比仅为0dB。

图3 本文算法信干噪比(SINR)随着迭代次数的变化曲线

Fig.3 Convergence of SINR of proposed algorithm against iteration number

为了比较本文算法与文献[18-19]所提的梯度法以及凸优化算法，采用与图3相同的仿真参数，图4以及图5分别给出了100次独立蒙特卡罗实验下3种算法的计算耗时(Inteli5-4200MCPU，4G内存)及输出信干噪比直方分布图，其中本文算法平均用时仅需0.007 5s，平均信干噪比为6.10dB，梯度法平均用时0.195s，平均信干噪比为6.10dB，凸优化算法平均用时0.795s，平均信干噪比为6.27dB。可以看出，本文算法与梯度法的性能相当，稍劣于凸优化算法，但是算法耗时远远低于凸优化算法。

图4 3种算法用时比较

Fig.4 Comparison of run-time of three algorithms

图5 3种算法输出信干噪比比较

Fig.5 SINR comparison of three algorithms

另外，在该计算机上凸优化算法所设计的波形长度L不能超过300，当码长L超过500时梯度法难以收敛，而对于本文算法，仅需要2s左右的时间就能设计码长超过1 000的恒模波形。

最后，图6为不同峰均比约束下所设计的波形信干噪比，可以看出，当峰均比增加时，由于式(19)中的可行解集合区域更大，因此波形的输出信干噪比会有所增加。同时图中结果也表明，当γ=2时，所设计波形的输出信干噪比非常接近能量约束下的最大输出信干噪比。

图6 输出信干噪比与峰均比的关系

Fig.6 Relationship between SINR and PAR

4 结 论

建立了宽带认知雷达的信号模型，分析了系统的检测概率和虚警概率，研究了任意峰均比约束下基于最大输出信干噪比的波形设计问题。通过将原有波形优化问题等价为权值以及波形的联合优化问题，并利用循环优化的思想，提出了一种能够用于改善距离扩展目标检测性能的低峰均比波形快速设计算法。相比于梯度法以及凸优化算法，本文算法所设计的恒模波形与它们性能相当，但是实现难度明显更小，计算复杂度明显降低，有更强的实用性。

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唐波 男， 博士， 讲师。主要研究方向： 自适应雷达信号处理及波形设计。

Tel: 0551-65927461

E-mail: tangbo06@gmail.com

Received： 2015-01-27； Revised： 2015-04-23； Accepted： 2015-05-05； Published online： 2015-05-25 09:54

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150525.0954.003.html

Foundation items： National Natural Science Foundation of China (61201379); Anhui Provincial Natural Science Foundation (1208085QF103， 1608085MF123)

*Corresponding author. Tel.： 0551-65927461 E-mail: tangbo06@gmail.com

Efficient design algorithm of low PAR waveform for widebandcognitive radar

TANG Bo*

Lab504,ElectronicEngineeringInstitute,Hefei230037,China

Transmit waveform design is a key technique in wideband cognitive radar. In order to improve the detection performance of range spread targets for wideband cognitive radar system, a target detection model is established. Then the detection performance associated with the signal model is analyzed. Afterward, the design method of low peak-to-average power ratio (PAR) waveform is studied based on maximizing signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR). In the development of the proposed algorithm, the original waveform optimization problem is tackled by considering its equivalent form, which is a joint design problem of low PAR waveform and receiving filter. Based on the idea of cyclic optimization, an efficient design method for low PAR waveform is proposed. The output SINR of the designed constant envelope waveform is similar to that of the existing gradient descent method and convex optimization method. However, the proposed algorithm is much easier to implement and has considerably lower computational complexity. The effectiveness of the proposed algorithm is verified by the numerical simulations.

wideband cognitive radar; range spread target; waveform design; low peak to average power ratio (PAR) waveform; signal to interference plus noise ratio (SINR); cyclic optimization

2015-01-27；退修日期：2015-04-23；录用日期：2015-05-05； < class="emphasis_bold">网络出版时间：

时间： 2015-05-25 09:54

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150525.0954.003.html

国家自然科学基金 (61201379)； 安徽省自然科学基金 (1208085QF103， 1608085MF123)

.Tel.： 0551-65927461 E-mail: tangbo06@gmail.com

唐波． 宽带认知雷达低峰均比波形快速设计算法[J]． 航空学报, 2016, 37(2): 688-694. TANG B. Efficient design algorithm of low PAR waveform for wideband cognitive radar[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 688-694.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0125

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