虽然同为比值，但却貌合神离

一、重温古典概型

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.我们把在一次试验中，等可能出现的全部结果组成的集合记为I，基本事件的个数n就是集合I中元素的个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，则P（A）=car（A）car（I）=mn.

解决古典概型问题通常分为四步：第一步，分析本试验是否是等可能的;第二步，本试验的基本事件有多少个;第三步，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个;第四步，计算比值得概率.其中求基本事件的个数是关键，常用方法有列举法（适用于比较简单的实验题），列表法（适用于有两种不同的对象的问题），树图法（适用于有多种不同对象的问题），这些方法归根结底就是列举，列举时应特别注意：要严防遗漏，绝不重复.

例1用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）3个矩形颜色都相同的概率;（2）3个矩形颜色都不同的概率.

解析：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.

（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有1×3=3（个），故P（A）=327=19.

（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有2×3=6（个），故P（B）=627=29.

例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率;

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.

解析：（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个.

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1，2}，{1，3}两个.因此所求事件的概率P=26=13.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

又满足条件n≥m+2的事件为（1，3），（1，4），（2，4），共3个，

所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316.

故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-316=1316.

解后反思：（1）本题在审题时，要特别注意细节，如第（1）问，注意两球一起取，实质上是不分先后，而第（2）问，第一次、第二次取出的球的编号分别是m、n，两次取球是有次序的;

（2）在列举基本事件时，要注意细节，以防遗漏，第（1）问中基本事件应写成{1，2}的形式，表示无序，第（2）问基本事件应写成（1，2）的形式，表示有序;

（3）此类题目解答时，同学们往往存在格式不规范，思维不流畅的问题.如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件.在第（2）问中，由于不能将事件n<m+2的概率转化成n≥m+2的概率，导致数据复杂、易错.

二、几何概型再认识

几何概型试验也有两个基本特点：（1）无限性——在一次试验中，可能出现的结果有无限多个;（2）等可能性——每个结果的发生具有等可能性.几何概型的计算一般按下列步骤进行：

（1）选取合适的模型，即样本空间Ω;

（2）在坐标系中正确表示Ω与所求概率事件A所在的区域;

（3）计算Ω与A的几何度量m（Ω），m（A）;

（4）计算概率P（A）=m（A）m（Ω）.

几何概型的概率是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法.它是借助几何度量来表示样本空间与所考查的样本.事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关.常见的几何概型有两种：（1）线型几何概型——当基本事件只受一个连续的变量控制时;（2）面型几何概型——当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.

几何概型中的难点是所求事件所构成区域的确定，这类似于“方程与不等式”中“等”与“不等”的思维模式，某事件发生与否也会存在一个零界点.所谓的零界点就是事件发生面临突变的关键点.临界点可能是长度、面积，也可能与面积、长度有关.另外几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

例3在集合A={m|关于x的方程x2+mx+34m+1=0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为.

分析：通过转化集合A和“lgm有意义”将问题转化成几何概型.

解析：由Δ=m2-4（34m+1）<0得-1<m<4.

即A={m|-1<m<4}.

由lgm有意义知m>0，即使lgm有意义的范围是（0，4），

故所求概率为P=4-04-（-1）=45.

解题反思：解决几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算;当考查对象为线时，一般用角度比计算.

例4如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.

分析：根据“在∠BAC内作射线AM”可知，本题的测度是角度.

解析：因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°，

在Rt△ABD中，AD=3，∠B=60°，

所以BD=ADtan60°=1，∠BAD=30°.

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.

由几何概型的概率公式，得P（N）=30°75°=25.

解后反思：几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度.

例5设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.

解析：设其中两条线段长度分别为x、y，则第三条线段长度为6-x-y，故全部试验结果所构成的区域为

0<x<6，

0<y<6，

0<6-x-y<6，

即0<x<6，

0<y<6，

0<x+y<6.

所表示的平面区域为△OAB.

若三条线段x，y，6-x-y能构成三角形，

则还要满足x+y>6-x-y，

x+6-x-y>y，

y+6-x-y>x，

即为x+y>3，

y<3，

x<3.

所表示的平面区域为△DEF，

由几何概型知，所求概率为P=S△DEFS△AOB=14.

解后反思：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域.

三、古典概型与几何概型联袂而至

例6已知关于x的一次函数y=mx+n.

（1）设集合P={-2，-1，1，2，3}和Q={-2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率;

（2）实数m，n满足条件m+n-1≤0

-1≤m≤1

-1≤n≤1，求函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限的概率.

解析：（1）抽取的全部结果的基本事件有

（-2，-2），（-2，3），（-1，-2），（-1，3），（1，-2），（1，3），（2，-2），（2，3），（3，-2），（3，3），共10个基本事件.设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有（1，-2），（1，3），（2，-2），（2，3），（3，-2），（3，3），共6个基本事件，所以，P（A）=610=35.

（2）m、n满足条件

m+n-1≤0

-1≤m≤1

-1≤n≤1的区域如图所示.

要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的（m，n）的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P=1272=17.

解后反思：对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值为有限个，可转化为古典概型;若取值有无穷多个，则可转化为几何概型问题.

例7抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.

（1）求点P落在区域C：x2+y2≤10内的概率;

（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.

解析：（1）以0、2、4为横、纵坐标的点P共有（0，0）、（0，2）、（0，4）、（2，0）、（2，2）、（2，4）、（4，0）、（4，2）、（4，4）共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：（0，0）、（0，2）、（2，0）、（2，2）共4个，

∴所求概率为P=49.

（2）∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，

∴所求概率为P=410π=25π.

在例6、例7中，几何概型、古典概型联袂而至，具体选用哪一种概型，应通过试验的全部结果是否有限来加以区别.两例中第一问基本事件是有限的，属于古典概型问题，解题的关键是把握好列举的方向且不重不漏，第（2）问基本事件是无限的，是几何概型问题.

通过以上分析，不难发现两种概型虽然都是通过计算比值而获解，但其本质却是不同，古典概型中的比值是基本事件的个数之比，几何概型中的比值是测度（长度、角度、面积或体积）之比.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限还是无限多个.解决古典概型问题的关键是“列举”，要练好列举的基本功，提升列举的能力水平，解决几何概型问题，关键是“找准临界点”，确定所求事件所构成区域及测度类型.

（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）