把握古典概型

一、基本事件

在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件;如抛掷一枚骰子，掷出点数可能出现“点数1”“点数2”……“点数6”这六个基本事件.通常试验中的某一个事件A，由几个基本事件组成，如抛掷一粒骰子，抛掷出的“点数大于2”这一事件包括了“点数3”“点数4”“点数5”“点数6”四个基本事件.

二、等可能基本事件

若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件;当然也存在着可能性不相等的基本事件.如抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三个基本事件就不是等可能的，事实应该分为“正正”“正反”“反正”“反反”四个等可能性的基本事件.

三、每一个基本事件的概率

如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有出现的结果可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1n，如上述问题中投掷一次骰子出现的点数结果有6种，即由6个基本事件组成，那么出现“点数1”“点数2”……“点数6”的概率则都是16.

例1袋子中装有红、白、黄、黑颜色不同但大小相同的四个小球.

（1）从袋子中任意取一个球;

（2）从中任意取两个球;

（3）先后各取一个球，分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数.

分析：本题的关键是需要弄清楚一次试验的条件和结果，如（2）（3）小题虽然试验的条件都是“取两个球”，但是（2）是无顺序的条件，（3）是有顺序的条件，因此得到的结果是不同的.

解：（1）这个试验的基本事件：红、白、黄、黑，基本事件的总数是4.

（2）一次取两球，如记（红，白）代表一次取出红球，白球两个，则本试验的基本事件为：（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黑，黄），基本事件的总数是6.

（3）先后各取一球，如记（红，白）代表先取一红球，后取一白球，因此本试验的基本事件为（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（白，黄），（黄，白），（白，黑），（黑，白），（黄，黑），（黑，黄），基本事件的总数是12.

评注：在求等可能的基本事件总数和事件A包含的基本事件时，特别要注意区分是有序还是无序.

四、古典概型

①所有的基本事件只有有限个;②每个基本事件的发生都是等可能的，我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.

五、古典概型的概率

如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）=mn.

例2同时抛掷两颗骰子.

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

分析：本题同样是古典概型问题，可直接应用古典概型公式来解决.

解：（1）抛掷一颗骰子的结果有6种，我们把两颗骰子标上记号1，2以便于区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时抛掷两颗骰子的一个结果，因此同时抛掷两个骰子的结果共有36种;

（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此由古典概型的概率计算公式可得到P（A）=436=19.

评注：要能准确把握基本事件的总数，求基本事件的总数也常常用列举法.

六、抽样有序性与无序性

有序抽样与无序抽样所得到的基本事件总数是不一样的.

例3袋子中有红、白、黄、黑颜色不同大小相同的四个小球.

（1）从中任意取一球，求取出白球的概率;

（2）从中任意取两球，求取出的是红球，白球的概率;

（3）先后各取一球，求先取出的是红球、后取出的是白球的概率.

分析：在解决本题中，要注意关键词从中任意取两球与先后各取一球.

解：（1）设A表示“取出白球”，在“从中任意取一球”这个试验中，等可能出现的结果有四种，“取出红球‘“取出白球”“取出黄球”“取出黑球”，P（A）=14.

（2）设B表示“取出的两个球是红球和白球”，在“从中任取两球”这个试验中的等可能出现的结果有6种，（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），则P（B）=16.

（3）设C表示“先后分别取出的是红球、白球”，注意“先后各取一球”这一试验有顺序，所以在“先后个各取一球”这一试验的结果可能有12种，（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（白，黄），（黄，白），（白，黑），（黑，白），（黄，黑），（黑，黄），则P（C）=112.

评注：“从中任取两球”和“先后各取一球”是两种不同的试验，前者无顺序性，后者是顺序性，两种情况的基本事件是不一样的.

七、有放回抽样与无放回抽样

例4从含有2件正品a1、a2和一件次品b的三件产品中每次任意抽取一件，每次取出后不放回，连续取2次，记“取出的两件中恰好有一件次品”为事件A，如果将“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，连续取2次，记“取出的两件中恰有一件次品”为事件B，求P（A）与P（B）.

分析：本题错在混淆“每次取出后不放回”与“每次取出来后放回”.从3件产品中不放回地抽取2件和有放回抽取2件的基本事件都不是很大，可以一一列举出来.

解：（1）每次任意取1件，取出后不放回连续抽取两次，所有可能的结果是（a1，b）、（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2），（a2，a1）共6个基本事件，取出的2件恰有一件次品的事件A包含的结果是（a1，b）、（a2，b）、（b，a1）、（b，a2）共4个基本事件，所以P（A）=23.

（2）若有放回地连续抽取两次，所有可能的结果是（a1，b）、（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2），（a2，a1）、（b，b）、（a1，a1）（a2，a2）共9个基本事件，取出的2件中恰好有一件次品的事件B包含的结果是（a1，b）、（a2，b）、（b，a1）、（b，a2）共4个基本事件，所以P（B）=49.

评注：在随机抽样中，要注意放回抽样与无放回抽样，应该注意两者的区别：①有放回抽样：每次摸出一个球后，仍然放回到口袋中，然后再摸一个球，这种摸球的方法则称为有放回抽样，显然，对于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可以无限制的进行下去.②无放回抽样，每次摸出一只球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法则称为无放回抽样，显然对于无放回抽样，每次某出的球不会重复，且摸球的次数只能是有限的.

且行且思，对于古典概型问题，只要把握上述类型的典型问题，注意古典概型的概念及特点，则解决相关问题一定轻松自如.

（作者：周文国，江苏省张家港中等专业学校）