《坐标系与参数方程》高考全解

在江苏新课标高考中，对《坐标系与参数方程》的考查，以解答题的形式出现在附加题（理科）的选做题部分，占10分.由于此题难度不大，故而成为考生们的首选.对于高考来说，争夺分数才是硬道理.那么如何才能稳稳地把这10分收入囊中呢？希望本文对同学们有所启发.

一、高考要求

1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.

3.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.

4.了解参数方程，了解参数的意义.

5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

6.掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.

二、命题方向

纵观近几年江苏新课标高考，对坐标系和参数方程，主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

三、知识梳理

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则

x=ρcosθ，

y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，

tanθ=yx（x≠0）.

2.直线的极坐标方程

若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点：θ=α;

（2）直线过点M（a，0）且垂直于极轴：ρcosθ=a;

（3）直线过点M（b，π2）且平行于极轴：ρsinθ=b.

3.圆的极坐标方程

若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点，半径为r：ρ=r;

（2）当圆心位于M（r，0），半径为r：ρ=2rcosθ;

（3）当圆心位于M（r，π2），半径为r：ρ=2rsinθ.

4.直线的参数方程

过定点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）.

5.圆的参数方程

圆心在点M（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为x=x0+rcosθ

y=y0+rsinθ（θ为参数，0≤θ≤2π）.

6.圆锥曲线的参数方程

（1）椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ（θ为参数）.

（2）抛物线y2=2px（p>0）的参数方程为x=2pt2

y=2pt（t为参数）.

四、考点分析

考点1平面直角坐标系中的伸缩变换

例1求双曲线C：x2-y264=1，经过φ：x′=3x

2y′=y 变换后所得曲线C′的焦点坐标.

解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′）.

∵x′=3x，

2y′=y，∴x=13x′，

y=2y′

代入双曲线C：x2-y264=1，

得x′29-4y′264=1，化简得x′29-y′216=1，

即x29-y216=1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线.

则焦点F1（-5，0），F2（5，0）.

方法感悟：

1.由伸缩变换公式得x=13x′且y=2y′代入曲线C的方程即得曲线C′的方程.

2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的P（x，y）与变换后的点P′（x′，y′）的坐标关系，利用方程思想求解.

考点2极坐标与直角坐标的互化

例2（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（2，π4），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=a，且点A在直线l上.求a的值及直线l的直角坐标方程;

（2）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为（4，π3），求|CP|.

解：（1）∵点A在直线l上，∴把ρ=2，θ=π4代入直线l方程应成立，

即2cos（π4-π4）=a，得a=2.

∴直线l的方程可化为ρ（cosθcosπ4+sinθsinπ4）=2，

化简得ρcosθ+ρsinθ=2.

从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

（2）由ρ=4cosθ可得x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，因此圆心C的直角坐标为（2，0）.

又点P的直角坐标为（2，23）.因此|CP|=23.

方法感悟：

1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，tanθ=yx（x≠0）.

2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响;善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用;灵活运用代入法和平方法等技巧.

考点3极坐标方程的应用

例3（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值.

（2）在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-π6）=a截得的弦长为23，求实数a的值.

解：（1）将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，直线的方程为3x+4y+a=0.

由题设知，圆心（1，0）到直线的距离为1，即有|3×1+4×0+a|32+42=1，解得a=-8或a=2.

故a的值为-8或2.

（2）圆C：ρ=4cosθ的直角坐标方程为x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4，则圆心C（2，0），半径r=2，

又直线l的直角坐标方程为x-3y+2a=0.

∴圆心C到l的距离d=|2+2a|2=|1+a|，

因为l被圆C截得弦长为23.∴r2-d2=3，即4-|1+a|2=3.∴a=0或a=-2.

方法感悟：

1.（1）（2）中的极坐标方程均化为直角坐标方程求解.

2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

考点4参数方程与普通方程的互化

例4已知直线l的参数方程为x=a-2t

y=-4t（t为参数），圆C的参数方程为x=4cosθ

y=4sinθ（θ为参数）.

（1）求直线l和圆C的普通方程;

（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

解：（1）因为直线l的参数方程为x=a-2t

y=-4t（t为参数），

由x=a-2t，得t=a-x2，代入y=-4t，得到直线l的普通方程为2x-y-2a=0.

同理可得曲线C的普通方程为x2+y2=16.

（2）因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d=|-2a|5≤4，解得-25≤a≤25.

方法感悟：

1.参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，消参可用代入消参或利用恒等式消参等.

2.参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.

考点5参数方程的应用

例5已知直线l过点P（2，0），斜率为43，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：

（1）P、M两点间的距离|PM|;

（2）M点的坐标;

（3）线段AB的长.

解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为43，设直线的倾斜角为α，则

tanα=43，cosα=35，sinα=45，

∴直线l的标准参数方程为x=2+35t

y=45t（t为参数）（*）

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x，

整理得8t2-15t-50=0，Δ=152+4×8×50>0，

设这个二次方程的两个根分别为t1，t2，

由根与系数的关系得t1+t2=158，t1t2=-254，

由M为线段AB的中点，根据参数t的几何意义，得|PM|=t1+t22=1516.

（2）∵中点M所对应的参数为tM=1516，将此值代入直线的标准参数方程（*），则

M点的坐标为x=2+35×1516=4116

y=45×1516=34，

即M（4116，34）.

（3）|AB|=|t2-t1|=（t1+t2）2-4t1t2

=5873.

方法感悟：

1.涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程：若α为直线的倾斜角，则参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）.

2.对于形如x=x0+at

y=y0+bt（t为参数）的参数方程，当a2+b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.

考点6参数方程和极坐标的综合问题

例6在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα

y=2+2sinα（α为参数），M是C1上的动点，点P满足OP=2OM，点P的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的参数方程;

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

解：（1）由OP=2OM知，点M是线段OP的中点.设点P（x，y），则M（x2，y2），

∵点M在曲线C1：x=2cosα

y=2+2sinα上，

所以x2=2cosα

y2=2+2sinα即x=4cosα，

y=4+4sinα.

从而曲线C2的参数方程为x=4cosα

y=4+4sinα（α为参数）.

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.

∴射线θ=π3与C1的交点A的极径ρ1=4sinπ3，

射线θ=π3与C2的交点B的极径ρ2=8sinπ3.

故|AB|=|ρ2-ρ1|=4sinπ3=23.

方法感悟：

1.第（2）问利用极坐标方程求两点间的距离，要注意两点：（1）准确把曲线C1，C2化为极坐标方程;（2）理解极径的意义.

2.本题将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思维能力及运算求解能力.善于将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.

五、友情提示

1.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.

2.极坐标问题通常有两种研究方法：一是用极坐标的知识直接求解;二是转化为直角坐标的形式，用直角坐标的知识求解.

3.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，一要注意ρ，θ的取值范围及其影响.二要重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.

4.在解决参数方程和极坐标方程问题时，常将各类方程相互转化以方便求解.

5.将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响.

6.设过点M（x0，y0）的直线l交曲线C于A、B两点，若直线的参数方程为x=x0+tcosα，

y=y0+tsinα（t为参数）注意两个结论的应用：（1）|AB|=|t1-t2|;（2）|MA|·|MB|=|t1·t2|.

（作者：单晓敏，太仓市明德高级中学）