数学文化及其课程资源的开发与利用

吴 宏

（喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006）

数学因其符号化、逻辑性和抽象性等特征，成为学生课程学习最畏惧的学科之一。那么怎样才能实现学生数学素养养成目标？对此我们要理性、全面地分析数学知识的教学问题，摒弃静态的知识观，注重揭示知识的多重属性，把握“知识的不确定性”和知识的结构整体关联性，特别是“知识的文化性和价值性”。[1]从而丰富数学知识的内涵，拓展知识的关联，实现作为规律系统和价值系统的知识意义，最终达成学习意义和目的的主体性回归。但是，什么是数学文化？数学文化的价值及表现形式是什么？在厘清上述问题的基础上，本文聚焦数学文化课程资源开发的重点问题，遵循相应的开发原则，选择课程资源融入教学的有效路径，落实文化视野的数学课程和教学改革；同时以数学文化视角，为认识数学知识的本质提供系统方法，有利于落实文化视野下的数学课程和教学改革。

一、数学文化的界定

1.数学是一种文化现象

数学作为文化现象，取决于三个特性：首先，数学具有文化的本质属性，是人类实践活动中创造的精神财富与物质财富；其次，数学存在于符号行为的文化传统之中，由外部进入个人意识，假如脱离文化传统，就失去了存在意义；最后，数学文化形成和塑造了人们的生活并以各种不同方式作用于人，为其生活规定内容和指引方向。20世纪下半叶，美国数学史学家克莱因（M.Kline）从数学与文化发展的角度，阐述了数学在人类文化中的作用，标志“数学文化”学科的勃兴。1981年，怀尔德（R.L.Wilder）在《作为一种文化系统的数学》（Mathematics as a Culture System）一书中认为，“数学文化的发展已经达到了一个较高的水平”，“构成了一个相对独立的文化系统”。[2]

2.数学是相对独立的文化系统

数学作为相对独立的文化系统，取决于数学抽象的内容、量度与方法，以及数学共同体遵循的数学传统。数学对象的形式抽象性是数学对象由“主观思维创造”向“客观独立存在”转化的合理解释，表现出层次性和秩序性，有别于文学创作和自然科学等文化特性；数学对象“可能量化模式”决定了数学的抽象程度远超自然科学达到的特殊高度；数学借助抽象方法，遵循直觉主义逻辑规则进行形式建构，决定了结论具有超越个体的普遍性、确定性和意义性，为数学的自由创造提供可能性，实现了数学世界的无限丰富性。数学传统是数学成为相对独立文化系统的必要条件，作为共同体在数学的本质和从事数学研究的基本问题上达成的共同认识——表现为总的观念或信念，对数学共同体各成员研究活动重要的规范和启示，包括核心思想、规范性成分和启发性成分。随着数学自身与人类文化的发展与进步，数学传统必然有发展演变的过程，包含一定差异的高度一致性和不同于一般文化的多样性。

3.数学文化的内涵

关于数学文化的内涵，辨析学界类似表述方式“数学的文化（Mathematical Culture）”至关重要。“数学的文化”是偏正结构，可理解与数学有关的文化，这种关于数学文化认识的表述有两个偏差：一是将数学文化视为数学的精彩历史花絮和点缀形式，是一种知识之外的有鉴赏价值的展品；二是将数学文化当作具有神秘色彩、民间或民族色彩的数学历史片段。两种认识都不能正确表现数学文化宏观和概括的本质属性，即数学文化是以文化的角度对数学的研究，而不是研究作为文化的数学，数学文化呈现数学与文化相互影响与促进的关系，表明数学文化构成数学发展“动力”和“规律”的相对独立、动态和多元开放的文化系统。数学文化的“相对独立性”源于“数学传统”的核心地位；“动态”源于数学活动中人类精神创造过程以及诸因素相互作用的结果；“多元开放性”源于数学发展受到社会和文化因素影响。其中，数学文化内涵中动态开放的属性区别于数学知识体系的确定性和不变性。建构这些知识体系的思维方式、思维结构是多元开放的，“数学文化主要研究这些特点各异的思维结构、认知方式，而不是知识体系”[3]。数学文化的外延不包括数学知识，但包括知识体系背后隐形存在的观念；“数学文化探究的中心是数学规律和理论结构形成过程中的文化背景及数学演化定型时对文明所施加的影响”[4]。

二、数学文化的价值

1.教育价值

数学文化的教育价值强调了教育的社会功能。“文化活动的目的是将数学学习者社会化到数学文化这一意义网络之中，社会化的结果是学生能运用数学语言、数学方法及数学思维与数学的科学态度，在数学文化的意义网络中自由交往，从而逐渐使数学文化所承载的文化精神根植于学习者的头脑和社会整体文化中。”[5]数学文化“整体性”的文化传统特质和文化传统的自觉反思与批判，彰显了数学文化的教育价值，即：“培养学生理性批判能力”的重要性；数学教育是“数学教育共同体”和“学习共同体”的自觉行动；培养学生沟通能力、容忍他人和欣赏别人的“多元文化”观念；养成主动学习的精神和终身学习的理念；明确不同文化社群都可发展自己的数学形式，确立数学教育“平等性原则”。

2.教学价值

数学文化表达了广泛意义下的数学观念，超越了把数学视为科学知识和理论体系的单纯科学主义观念，“从数学的单纯的科学性理解中摆脱出来，超越数学作为以本体论、认识论、方法论为主线的数学哲学观念，把数学置于真实的历史情境、文本语境、数学共同体，以及迅猛变革的现实社会文化背景之中，超越数学分支过度的专业化藩篱，从更为广阔的视角去透视数学，领悟数学的社会意义和文化意义”[6]。数学文化促进了数学观的转变，对数学本质的认识由静态的绝对主义数学观，转向动态的经验和拟经验的数学观。教师的数学观促进了数学教学观的转变，将“数学知识看成可以传递给学生的纯客观的东西，任何问题都必定存在唯一的正确解答和合理解题途径，其正确与合理性取决于教师的裁决”转变为“创造性地使用教材，大力提倡学生的参与，对学生在学习过程中产生的错误采取较为容忍的态度，以师生的共同努力消除错误”。

3.课程价值

数学文化的课程价值表现在：课程目标的确立；课程主体内容的拓展；课程形式的多样化；课程评价的文化标准。首先，数学课程目标是学生数学知识和技能的习得，包括学会数学思维，培养独立判断能力，获得丰富情感体验，拥有高雅生活和审美情趣，培养健全人格。我国《全日制义务教育数学课程标准》与《普通高中数学课程标准（实验）》对数学文化内涵的解读，强调了数学文化的价值，以及对数学文化的关照。其次，数学文化增强数学课程的普及性与应用性。数学文化由物质产品（数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等）知识性成分和精神产品（数学思想、数学意识、数学精神和数学美等）观念性成分组成。作为“物质产品”的知识成分是数学课程内容的主要来源，构成课程的显性成分，但忽视“精神产品”中与数学有关的文化现象。课程内容的选择，需要关照数学符号化、逻辑形式化背后的精神、思想等观念的隐性成分。再次，数学课程重视学生的文化背景，将整个文化环境和日常生活用作课程的出发点。最后，课程主体内容的拓展涉及课程从数学文化的“学术形态”转化“教育形态”问题，考虑课程组织结构、形式以及评价的多样化。

三、数学文化的表现形式

1.数学与文化的互动

数学具备“模式科学”的高度抽象性，决定了数学应用涉及广泛的社会生活；数学方法影响了经济学、社会学和教育学等研究与发展。运用数学对于客观世界的研究，在定性基础上，定量地描述客观事物，准确地刻画客观事物及其变化。两千多年前，古希腊人认为科学乃至文化的本质就是数学，数学“量化”和“科学化”取向，增强了科学预见的可靠性和精确度，一些划时代的科学理论成就，无一不借助数学的力量。数学与文化间的互动，使数学成为社会发展不可或缺的动力。

2.数学知识的来龙去脉

数学概念、命题和问题都有其产生发展的历程。概念产生的背景和发展的历史，概念性的经验和对感性经验的单纯变化，新旧概念的关系和定位，错综复杂概念网络结构的形成构成概念的文化形式。命题的猜想、发现、验证、证明和应用的产生发展背景，以及命题与概念、命题之间的关系，构成概念和命题的文化形式。数学发展中数学问题的提出和解决，包括解决现实生活和自然科学提出的问题；已有数学理论不能解释数学新事实，旧问题已得到解决又产生新数学问题；数学发展史中每个数学分支，每个时代独特的基本问题的缘起和发展构成问题的文化表现形式。

3.数学的理性精神

数学在数量和逻辑思维形式的表现，决定其作为一种理性因素在人类活动中发挥的重要作用。克莱因（M.Kline）认为，“数学是一种精神，一种理性的精神”[7]。数学理性精神的内涵是“主客体的严格区分；研究方法是精确、定量的，而非含糊和直觉的；批判的精神和开放的头脑；抽象的、超验的思维取向”[8]。其精髓是努力超越直观经验，以抽象思维达到对事物本质和普遍规律的认识，以及数学在批判精神形成发展中发挥作用。

4.数学的人文精神

数学的人文精神表现在：第一，数学是人类理性的活动，展示人性追求自由和真理的本质；第二，数学研究成果是创造性的艺术，具备简单美、对称美、奇异美和统一美的特征，陶冶人的美感，增进人的审美能力和直觉力，体现人的人文关怀；第三，数学家的创造需要直觉、想象和幻想。“数学是创造的艺术，因为数学家像艺术家一样的生活，一样的工作，一样的思索”[9]，“数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学原则……判断数学家能否成功，或者他的努力是否有价值的主观标准，都是非常自足的和美学的”[10]。无论是直觉主义流派的代表人物庞加莱、布劳威尔，还是形式主义流派代表希尔伯特都十分重视直觉和想象在数学创造中的作用。直觉和想象无论理解“按时间顺序出现的感觉”，还是“对若干可能的公式或理论的选择”，抑或“对数学事实的有益的组合”，都遵循“有和谐秩序和规律”的审美标准：一种简洁概括的形式表达某种本质的深刻的规律性的美作为标准引导数学直觉思维。

5.民族与民俗数学

从数学发展的历史文化层面上，不同民族和地域在不同时期各自生长“民族数学”的萌芽，甚至有相当精深的发展。这种固有的与民族文化共兴衰的数学传统，深刻地折射出不同民族的精神追求、自然观念和思维旨趣。20世纪80年代，巴西数学教育家达布罗西欧（U.D’Ambrosio）提出“民族数学”的概念，用来刻画各民族特有的数学活动，其首要论点就是对数学的“社会—文化”属性的明确肯定。民俗数学拓宽了“民族数学”的研究范围，各社群都可以发展自己的数学形式。民族和民俗数学使数学文化摆脱了数学的欧洲中心主义，依据多元文化的立场对它们做出公正的评价，尊重不同的数学形式，并吸取有益成分；数学教育关注现实问题、学习者所处的文化环境，尤其是日常数学，包括生活中积累的常识性知识和未经训练的数学知识体验对数学学习的影响。

四、基于数学文化的课程资源开发

数学文化明确了影响数学发展的诸多因素与知识体系背后隐性存在的精神、意识与思想观念。数学文化的“内隐性课程资源”[11]开发可以激活学生的数学活动经验，达成数学符号知识学习自我意义价值的实现。对照“只有当数学文化的基本内容需要内化到学习者自己的文化系统中，才可能真正成为一种文化素质”，使数学达到“文化层面”的要求。[12]

1.重点问题

（1）处理数学文化的数学史实与数学史课程的关系

数学文化的数学史实来源于数学史。本质上，数学史关注数学发展的历史进程，数学文化的数学史实将数学史作为数学课程资源，将数学史的学术形态转化为教育形态，在尊重历史的基础上，考虑不同学段学生学习认知水平、需求层次和教学知识点。功能上，数学史实是数学文化的素材来源。数学文化引用数学史实，重在发掘背后的数学思想方法、价值观念的发展变化和数学精神。数学史课程形成个性的课程体系，在深度和广度上明显高于数学史实。

（2）使“有意识”的数学文化教学产生“润物细无声”的效果

有学者提出，将数学文化纳入高考评价，借评价的指挥棒保证数学文化教学的持续性和有效性。[13]功利化的评价方式会激起学生的反感，消解学生对数学文化的兴趣，使数学文化教学跌入“冰冷”的数学知识学习的深渊，最终破坏数学文化课程资源开发的初衷。在有限时间内，不增加学生负担的前提下，合理有效地运用数学背景知识，整合数学文化与数学知识，切合学习者现有的文化系统与数学文化，形成数学文化与知识线索的统一；数学知识与文化的有机整合，将数学文化“内化”到学生文化系统中。其间涉及“数学文化以一种怎样的形式加以展现”的问题。假如单设数学文化课程，将数学文化作为“补丁”加入原有的数学教学体系中，只能是初级阶段表现。事实上，数学文化教学应以阅读材料、专题或课程板块形式呈现，实现数学文化内化的自然“融入”——将数学文化的思想融化到数学课程的教学。遗憾的是，数学文化在实践中的具体方案并未得到有效落实，“数学文化的课程意图有落空的可能”[14]。

（3）纠正数学文化价值观与多元文化观点的缺失

数学文化的课程资源开发应关注中西数学文化传统、数学文化价值观的比较，以及演变趋势，尤其是数学“多元文化”观念。学生的知识、直接经验和生活世界成为重要的课程资源，基于数学史实，与其他学科的统筹整合并以现代信息技术作为数学文化的良好载体。

为了有效地弘扬数学文化，使学生自觉地接受数学文化的熏陶，养成良好数学素养，需要探讨数学文化课程资源开发的原则。

2.遵循的原则

（1）少而精原则

数学文化多内涵的价值意义，决定了其课程资源范围较广。完成“数学文化融化到数学课程中”的目标定位，数学文化教学中应贯彻少而精原则。课程资源开发紧扣数学文化主题，以阐明数学的精神实质、思想方法和数学价值观趋势为要旨；考虑资源选取的优先和重要性。抓住深刻影响人类文明进程并起着关键性甚至决定性作用的数学事件，便于学生举一反三，触类旁通。如“哥尼斯堡七桥问题”作为课程资源有丰富的文化价值。发掘该素材中的文化内涵，让学生体会数学由特殊到一般、数形结合和复杂问题简化的“数学化”思想方法，体验数学的“简单美”；加深了解纷乱的自然中存在有美感的数量关系，为数学家的发现惊叹的同时，获得问题解决步骤和策略启发，激发对数学的真正兴趣。

（2）学生导向原则

教育只有反应学生的本土文化或相关利益，才能真正有效。学生是学习主体，资源的开发与利用都应该基于实证研究，明确学生已有的知识、经验、背景、兴趣和平时的活动，以学生的数学学习为主线，以学生实际需要为出发点，以调动学生主动参与为主轴，以有效实现数学文化价值为目标，重视学生文化背景的理解与学校教学相联系。

（3）结合数学课堂教学原则

数学课堂教学是课程实施的重要环节。课堂教学有效性关系教育、教学目标的达成。数学文化教学目标的实现，不应将数学文化单纯作为数学课堂教学之外的内容，应该认识到数学文化是数学课程教学的内在要求，构成数学课程“素材性”资源。结合数学课堂教学，讲授数学知识，同时将有关数学的重要发现与发明，放在历史环境下分析，并充分发掘其文化内涵；结合当今发展以及应用，揭示它们在数学文化方面的作用和意义。

五、数学文化融入数学教学的途径

1.数学活动中，积累基本活动经验

数学活动是数学共同体遵循数学文化传统，进行数学发现和发明活动的方式。数学课堂教学中引导学生参与数学活动，在“做中学”，经历“再创造”过程；问题导向的数学活动中学生相互启发，拓展思路和方法，体会合作精神的可贵品质，以及团体协作活动的意义；生生和师生交流中感悟数学语言作为文化载体的应用，领会数学语言不仅是数学的符号语言，还承载逻辑和生活意义；操作、探究和综合数学活动中丰富发展基本活动经验。如“球的体积公式”教学设计的“细沙实验”[15]，以祖暅原理作为实验的理论基础，鼓励学生在操作、合作交流中猜想和实验结果抽象，实验操作活动为证明和思想方法的理解埋下伏笔；“三角形内角和定理”引导学生经历泰勒斯研究过程，通过三角形平移、旋转的操作，验证猜想并推理论证，帮助学生积累操作经验，体验数学研究科学、理性和严谨精神。

2.数学问题解决过程中，感悟数学精神和形成数学意识

“问题是数学的心脏”，也是每个时代数学发展不可或缺的。问题解决中的数学问题是非常规的，具备开放性、情境性和探究性特征，需要一定探索、研究，深入认识数学对象的性质，发现数学规律。问题解决过程建立数学模型，将现实问题“数学化”，或者借助数学经验和直觉，做出初步猜想，借助量化模式对问题给出理性分析和判断。数学问题解决过程，保证学生始终处于“愤悱”状态，除了学习数学知识，实现对于波利亚数学启发法的自觉学习、继承和超越。如中国古代“鸡兔同笼问题”；勾股定理“赵爽弦图”与毕达哥拉斯证明；以“形数理论”的产生、发展、应用和拓展作为背景，探讨解决前 n 项求和公式的证明问题。[16]巧妙地借助数学文化中数学史实作为课程教学的素材，在学生惊叹古代数学家们巧妙的问题解决方法中，提升自身问题解决的思维拓展，领悟数学的理性精神、人文精神和数学家的创新精神，认识数学的科学价值和文化价值。

3.数学知识发展背景中，渗透思想方法

数学知识开放、相对和易谬的属性，数学教学隐性课程资源的开发，都展现了数学“冰冷的美丽”背后“火热的思考”。数学知识不同方面点滴成果的汇集与积累，都是教学素材的来源。随着人的实践活动深入，数学中的许多概念从原初的状态被扩张和推广，形成现在广泛又精确的概念；数学家发现了新的数学定理后，探求是否能推广定理，若能成功推广，则推进研究，成为数学定理和法则一般化原则。数学知识产生和发展背景中蕴含丰富的数学思想方法资源，通过发掘背景知识资源，帮助学生理解概念、定理和法则的来龙去脉，加深知识点的理解和应用，正确认识数学本质，树立正确数学观念，提高数学学习兴趣。如历经两千多年数系建立，成为学习者数概念抽象和理解的素材；函数概念的发展和转变历程，加深学生对客观世界认识深度的变化；明朝《算法统宗》“铺地锦”算法作为两位数乘两位数笔算教学的素材，帮助学生理解算理，掌握方法；“费马猜想”“歌德巴赫猜想”和“四色原理”从问题提出到解决以及推广历程，提高学生理解归纳推理思维的本质。

4.联系学生文化背景，促进自我意识发展

教育界提倡从“社会—文化”的视角审视数学教育，学生是学习的主体，学生资源当然是数学课程需要发掘的数学人力资源。[17]学生所处国度、民族文化背景不同，以及所处地域不同，都有不同的数学文化背景。数学文化作为数学课程资源的开发对象，关注学生数学文化的差异性，尊重不同民族的数学文化传统；联系学生的文化背景，发掘学生已有的经验和兴趣点，创设情境呼唤学生文化意识的共鸣；认可民族数学文化基础上，吸收西方数学文化精神。因此，学生文化背景资源的发掘，能引发学生数学学习的兴趣，提高数学教学质量，在文化互补的数学学习中明确发展方向，了解数学的价值，对数学学习充满信心，促进学生自我意识的形成和发展。如“天平”左右两盘的平衡作为理解等式中“等号”含义的隐喻；《乌鸦喝水的故事》中乌鸦能喝上水的原因是学习体积概念的良好素材；天气预报作为理解概率中“可能性”的教学资源。▲

参考文献：

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