大学生数学建模认知与创新能力培养的几点思考——以2015年全国大学生数学建模A题为例

何丹

（汉口学院，湖北武汉430212）

大学生数学建模认知与创新能力培养的几点思考——以2015年全国大学生数学建模A题为例

何丹

（汉口学院，湖北武汉430212）

数学建模对于学生认知和创新能力的培养和提升具有重要推动作用。本文从数学建模具有的重要价值出发，探讨教师在数学建模中具有的重要作用，并通过例子进行分析，最后提出几点思考。

数学建模；认知能力；创新能力；教师

拥有数学思想对个人发展以及社会进步具有积极影响，不管是微观机理性研究，还是宏观决策，利用数学的思维去思考问题、解决问题已成为主流。数学作为理性思维的载体，是培养和造就各类人才的基础，体现了自身具有基础的科学价值，同时其蕴含的技术价值又给社会带来了无尽的精神与物质财富。人们为实现此类财富，已逐渐习惯将问题的思考、客观现象的表述、事物的发展规律分析与数学思维、数学语言、数学方法对应起来，从而形成了所谓的数学建模。数学建模已成为数学走向应用的必经之路，是将现实世界和数学科学有机联合起来的桥梁。大学生作为未来社会的中坚力量，理应培养和具备扎实的数学基础与良好的数学素质。事实上，数学教育本质上是一种素质教育。实际证明，数学建模教学与竞赛是培养大学生综合素质的有效途径。数学建模教学与竞赛不仅提高了学生的数学应用意识，还增强了学生利用数学知识与现代技术解决实际问题的能力，同时学生的认知和创新能力得到了不断提升。具体而言，通过数学建模，学生应该具有如下几个方面的能力：看事物眼光发生改变，注重事物的数量及其变化规律；逻辑思维能力增强，数学习惯改善，对于一项工作能认真细致、一丝不苟且有条不紊地进行；讲究精益求精，能基本利用数学思维、理论和方法去思考、分析及解决问题；面对困难，主动思考，创新及实践能力提高，同时合作及分工意识增强；对事物具有一定的概括能力，能从不同角度看待问题，较为熟练地使用网络和相关搜索技术；具有较好的写作能力，并能自我给予合理的评价。这些益处概括起来，其实就是学生的综合能力得到提高，而其中最明显的是学生的认知和创新能力得到培养与提升。下面将就如何在数学建模中来培养与提升学生的认知和创新能力展开讨论，并以实例进行分析。

一、数学建模与认知创新能力

创新能力的培养对于开发应用型人才具有重要作用。以知识经济为主导的经济全球化浪潮，不仅要求个体综合素质的全面提高，还要求个体具备开拓创新的意识和精神。这决定了具有创新意识的人才才能成为经济持续增长和社会持续发展的内在依托，是建设创新型国家的关键所在。创新能力的培养同时对缓解大学生就业压力具有重要作用。帮助大学生培养创新能力，激发大学生潜在的创新意识，变被动的求职者为能够主动进行创新的就业者，这显然是缓解大学生就业压力、实现大学生就业范围持续矿大、增强就业拉动能力的重要途径。

数学建模对大学生创新能力的培养。创新人才结构应该包括创新意识、创新思维、创新精神、创新人格、创新的知识储备、创新能力等六个方面。从解决具体实际问题方面来看，数学建模运用了所学数学知识和数学归纳总结的方法，它具有结合实际、辐射面广、依赖数学计算等特点，培养了大学生的创新能力。同时，一个具体的问题可以拥有很多种解决方法，这样使得大学生的想象力和创造力在问题的解决过程中有了很大的发挥空间，促进了大学生对所学数学知识的融会贯通，养成了多层面思考的良好习惯，从而对大学生以后的创新思维培养提供了更好的方法，以及培养大学生动手实践和总结能力、日常学生能力、未来踏入社会能力，增加学生对生活中实际问题的理解，掌握更多的分析、处理问题的方法，提升综合素质，培养更多与社会接轨的应用型人才。

虽然我国的数学建模竞赛从1992的第一次全国大学生数学竞赛至今已有二十多年历程，也取得了众多的成果，但是就现状来看，绝大部分大学生在高中及以前学习阶段未真正接触过数学建模，对于数学学习基本处于一种为学而学的状态，并不清楚如何去应运学到的数学知识，并主动地去学习新的知识，不断拓宽认知能力和实践能力，更谈不上创新能力。因此，即使大学生数学建模培训及竞赛为广大学生提供了良好的认知和创新能力培养平台，但是对于众多初次参与数学建模的学生而言，如何成功地在数学建模中提升认知和创新能力是值得认真探讨的。

王茂芝等从数学建模培训的能力和目标出发，将数学建模培训课程分为四个阶段：准备阶段、建模预处理阶段、专题培训阶段和模拟与实战阶段。由浅及深，以提高学生的宏观驾驭能力、资料收集能力及基本软件应用能力为出发点，提升对数学问题的思考及分析能力，接着通过专题培训使学生的知识结构及能力能基本满足建模和求解的要求，最后利用实战培养学生良好的心理素质、健全的人格、良好的协作和协调能力以及写作能力。蒲俊等通过近二十年的实践探索，指出数学建模的成功离不开好的政策和稳定的教师队伍，同时，必须注重教学内容的选择这一核心环节，为保证教学质量必须具有好的教学方法和手段，以及不能按照传统的考核方式来考评数学建模绩效。但是，前述研究多是从数学建模整体出发，对如何提升创新能力的具体方法涉及较少。付军等通过教学实践，总结出为培养和提升学生的创新能力，教师起到了决定性的作用，教师应在教学过程中强调知识的发现过程，创造性地解决问题的方法和不断探索的精神，而不是只注重结果与照本宣科的教学。具体应注重以下方面：注重积累，优化知识结构；引导思考，重视认知过程；设计教学，促发直觉思维；一题多变，加强发散思维；团结拼搏，培养创新品格等。叶其孝也明确提出，在数学建模教学过程中，学生是中心，教师是关键，因为教学活动是在教师的领导和指导下进行的，需要老师的刻苦钻研、适宜的教学艺术及满怀的爱心。

通过以上可以看出，为培养与提升学生的认知和创新能力，学生作为中心是理所当然的，但是教师的作用不可忽略，甚至是决定性的。目前针对老师在数学建模中的引导作用讨论较少，本文以2015年全国大学生数学建模A题为例，从老师层面探讨如何引导学生利用数学建模培养和提升认知与创新能力。

二、举例分析

2015年全国大学生数学建模A题是一道动态空间几何问题，此题目的是根据太阳影子随时间的变化推断出影子拍摄的地点及拍摄日期。题目给的信息很少，只有时间和直角坐标数据，且直角坐标的坐标轴方向未知，众多信息需要自己去收集与挖掘，难度随着问题的深入而不断加大。对于此题，因参加数学建模的学生可能来自不同的专业和不同的年级，基础不一，对于物理专业和部分工科专业学生可能会较快上手，但是，对于其他专业例如化学、管理等学生而言，却理解起来比较复杂，老师如何引导学生进行思考并解决问题至关重要，进而达到提升学生认知和创新能力的目的。一般来说，在对学生进行指导之前，老师自身应该对问题有较深的认识，能把握整个问题的核心，从多个角度思考问题，并想出不同种的方法来进行求解，实现发散思维与灵活教学。

对于一个完整的数学建模论文来说，一般包括问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模拟建立与求解和模型评价与改进等部分，针对不同问题可适当进行调整。针对本文所举例子，涵盖了上述所有部分。老师为能使学生能力得到提升，需在每个部分做一定的工作来引导学生解决问题，并能进行恰当合理的分析与评价。

（一）问题重述

问题重述部分并不是简单地将问题复制一遍，而是应该在对问题有一定认知程度的进一步理解和升华。为此，老师需要采用一些实际生活中的例子进行展示，例如地球仪简单模拟、太阳能朝向文献收集等，这些工作可以激发学生对问题的兴趣，同时对问题有一定的感性和理性认识。但是，必须明白学生是主体，老师只是鼓励和起推动作用，具体工作需要学生自己做，例如查文献与搜集网络资料等，老师可以给予一定的评价和鼓励。

（二）问题分析

本次数学建模A题中提出了四个需要解决的问题。问题一，对于直杆的太阳影子长度的变化曲线，根据拍摄日期、地点以及时间区间和直杆的高度，可先通过求出此时间区间内多个直杆太阳影子的长度，建立适当的模型，拟合出直杆影长与时间变化的函数关系。问题二，对于任意位置固定直杆水平面上的太阳投影定点坐标数据，通过建立数据模型得出可能地点的经度与纬度，从而来实现直杆的定位。问题三，对于日期和地点都变化的直杆坐标求取问题，我们假定xy坐标系的x轴与纬线夹角为β，首先给定一个日期，通过建立的模型即可算出21个时间点的纬度，通过判断21个纬度值的方差筛选，对夹角的赋值和日期的给定，算出所有日期符合要求的坐标和日期。问题四，基于录像，选取特定时间点画面，利用AutoCAD软件，量取直杆及影子长度（非真实长度）。由前述可知，太阳高度角的正切值为杆高与影长的比值，故通过量取得长度即可计算出太阳高度角，同时，已知杆高，通过数学几何运算即可求出影子真实长度。通过录像中选取的时间点及日期，可以利用前述公式求得赤纬角及时角，利用太阳高度角、目标点的地理纬度、赤纬角及时角之间的函数关系，求解一元方程即可得到目标点地理纬度。与第二问中的求解方法相同，通过影长与时间进行二次多项式差值拟合，可以得到直杆所在地方的经度，结合算出的经度和纬度得出了若干的可能的拍摄地点。对于附件2和3，我们采用问题二中相同的办法拟合出函数及其图像，算出直杆若干个可能所在地的经度。综合以上，得出直杆若干个可能的地点和日期。由此可见，这四个问题相互联系，特别是在解决第四个问题时，可以直接运用第二个问题的求解方法。

在问题分析方面，老师要给予充分的重视，引导学生逐步分析各个问题之间的联系，防止学生想偏想怪，走太多的弯路，但并不是直接就给学生给出求解方法和结果。老师在此部分一定要鼓励并引导学生查阅更多的文献和资料，并鼓励团队之间多讨论、多合作，提倡主动提出问题，从而实现对问题的深入理解。

（三）问题的求解

本文采用的例子中涉及较强的动态几何模型，对大多数学生具有一定的难度，此时就需要老师进行相关演示。老师可以事先准备一些视频材料，这些材料在网上是有的，例如卫星运动轨迹模拟视频等都是很好的教学材料，不仅可以进一步激发学生的兴趣，还可以建立更加深刻的感性和理性认识，从而可以促使学生主动地建立模型。一般来说，模型建立后，老师对学生的模型进行一定的评价，和学生进行讨论，这样不仅能增进师生之间的友谊，还可以让学生产生莫大的鼓励，学生的兴趣和解决问题的决心也会大增，对于问题解决很有益处。数学模型的求解、模型的检验包括建模过程中对实际问题的数据处理离不开计算机技术，像Lingo、Lindo、Matnematical、Matalab等数学软件的使用，也需要进行合理的开发，才能在实际问题的解决中发挥作用。在教学过程中，同时要注重相关软件的教学。就本例而言，CAD制图软件、Matlab软件是重点教授软件，鼓励并引导学生主动学习此类软件，并用于问题分析与解决。

（四）论文的写作

对于学生完成的论文，首先，老师应该认真地批阅，但是必须明白数学建模不同于传统教学，不管学生的结果如何，老师需要从多个方面进行考察，应该注重原创性、科学性和文章表达方面，有的学生虽然未能完全解决问题，但是思路清晰，表达方式恰当，此论文都应该给予很高的评价。论文批阅完后，老师应该与学生进行讨论，而不是忙着进入下一类型模型的教学，只有在学生对本问题充分理解之后方可进入下一类型模型教学。

总之，教师是培养学生的主体，能否有效地培养学生的创新能力在很大程度上取决于教师。教师在建模指导过程中，应该强调的是发现知识的过程，而不是简单地获得结果；强调的是创造性地解决问题的数学方法和养成不断探索的精神，而不只是照本宣科地学习和讲授。只有这样，才能更好地培养学生发现问题、分析问题和解决问题的实践能力和创新能力。

三、几点思考

实践已经表明，数学建模对于学生的认知和创新能力培养和提升具有重要推动作用。为能更好地进行数学建模教学工作，本文提出以下几点思考：

（一）理工科专业应适当开设数学建模课程

理工科学生一般开设有高等数学、线性代数、概率论与数学统计等数学课程，但是教学单一，基本为学而学，不知学后如何使用，与实际问题距离较远。适当开设数学建模课程可以使学生能将学到的数学知识与实际联系起来，不仅可以加深自身专业的认识，还可以拓宽知识面和增强发散性思维，这对培养和提升学生的认知和创新能力是很有效的。

（二）让数学建模的思想渗透到各门数学课程中去

在大学教育中，最理想的数学建模教学是把它渗透到各门数学课程中，并且尽可能渗透到专业课程中。在每一门课程中设计四个左右较精彩的建模案例，四年下来，学生掌握了很多典型实例的解决方法，其创新能力就会有较大的提高。

（三）从强调学生的主体地位和培养学生的创新能力提出改进教学模式

在数学建模培训过程中，增加探索和讨论。这样，可以突显学生探索新知识的能力，养成独立钻研的习惯。同时，组织课外小组活动与完成大型作业。教师可以将学生分成若干个小组并指定一些问题，让学生阅读相关资料，互相讨论，形成解决问题的方案，使学生发挥特长，养成良好的探究问题的习惯。

（四）在数学建模教学过程中，不仅学生需要培训，老师也需要进行相关培训

数学建模中，学生是主体这是理所当然的，但是，老师的指导不可或缺，甚至起着确定性作用。指导老师基本为专门从事数学教学工作的老师，虽然数学理论知识丰富并且具有较强的数学应用能力，但是仍避免不了在很多方面有所欠缺，因此，需对老师定期进行相关培训，使老师能基本胜任任何数学建模问题的教学工作，同时也能促进教师自身的学术研究水平和教学工作水平的提高。

（五）数学建模教学与培训离不开好的政策

当前，老师与学生的压力很大，特别是青年教师，为能给这些教师吃定心丸，学校或单位应该给予这些老师充分的重视，不能只让他们有产出而得不到给养。

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