基于频率特性和参数灵敏度的系统脆弱性的分析

张鲲鹏,苏永清,赵闻达

(同济大学电子与信息工程学院，上海,201800）

基于频率特性和参数灵敏度的系统脆弱性的分析

张鲲鹏,苏永清,赵闻达

(同济大学电子与信息工程学院，上海,201800）

脆弱性是闭环控制系统对参数灵敏度的表征。本文通过分析控制系统开环频率特性和系统对参数的灵敏度来定量分析脆弱性，当系统的开环频率特性曲线离临界点（-1,0j）越近，系统的稳定性越容易遭到破坏；同时系统对某个参数越灵敏，系统特性也是相对容易变化。实际上，系统的参数总是存在一定的不确定性，可能导致设计的系统无法实现。

参数灵敏度；频率特性；控制系统；脆弱性

0 引言

控制领域中“脆弱性”问题首先被Keel和Bhattacharryya提出来，他们认为系统控制器是脆弱性的，是因为控制器参数的微小扰动导致整个闭环系统失去稳定性。James F.Whidborne等从闭环系统极点对控制器参数的灵敏度进行分析量化脆弱性，并提出对控制器设计的优化方法。文献[1][2]认为这是控制器脆弱性的问题，所以一经提出就受到部分学者质疑。何朕等学者认为任何反馈系统都具有一定的稳定性，只是其稳定裕度有大有小，也就是说，任何稳定的反馈系统，总能容许实际上存在的各种微小摄动，其中包括参数的摄动，只是这个容许范围有宽有窄。因此对控制系统脆弱性研究，不能仅在控制器上寻找原因。脆弱性系统是对参数非常敏感的，参数的微小摄动将导致系统失去稳定性，它是一种系统对参数极端敏感度的研究。

脆弱性的系统在理论上是存在一定的稳定性和稳定裕度，但是实际调试中，由于受到环境应力的影响以及器件参数精度限制而无法实现，这就是系统脆弱性的问题。而研究脆弱性的意义在于，对于存在脆弱性问题的系统，如从脆弱性方面去分析并重新设计，就有可能使这个设计得以实现。本文将从系统对各个存在摄动参数的极端灵敏度方面对脆弱性进行定量分析。

1 系统灵敏度

在实际控制系统中，控制对象的参数将受到一些因素的影响，如持续变化的环境、器件老化、过程参数的不确定性等，对于闭环系统而言，这些变化可能导致输出变化和稳定裕度的变化。控制系统稳定性对受控对象参数变化的灵敏度是非常重要的系统特性之一。首先，系统对受控对象灵敏度的定义为系统传递函数的变化率与受控对象传递函数变化率之比。闭环系统传递函数为T(s )，受控对象传递函数为G(s)，则灵敏度，取其微小增量的极限形式，则式变为

对于控制系统脆弱性而言，需要研究的是参数的摄动对闭环系统的影响。假设α为受控对象G(s)的参数为系统对受控对象参数变化的灵敏度。根据链式法则，可以得到其中为受控对象对参数的灵敏度。得到受控对象对参数α的变化的灵敏度的计算公式

其中，α0为参数α的标称值。

2 脆弱性计算

脆性在字典中的定义为：“物体在受拉力和冲击时，没有显著变形而突然破碎的性质”，引申到控制领域，可以理解为：“稳定的系统在受到外界环境应力的作用而突然失去原本的稳定性”。环境应力作用的直接体现就是系统中参数的变化。

从开环传递函数G(s )的Nyquist特性的示意图中，ρ为G(jω)距离-1点的最小距离，由几何关系得到

考虑到反馈环节对系统的影响，本文通过系统对受控对象最大灵敏度下的参数灵敏度来表示系统的脆弱性Fs。设系统对受控对象最大灵敏度的频率为脆弱频率ωs，显然

脆弱性定义为

脆弱性指标包含系统两方面的信息，一是闭环传递函数的稳定裕度，二是开环传递函数对参数的灵敏度。因此脆弱性的含义可以理解为受控对象中的参数变化对系统的破坏性。数值越大，参数的微小摄动将导致系统失去稳定性；数值越小，系统的稳定性越不易被破坏。

其中Fi(i=1,…,n)为系统对参数xi的灵敏度，即

代入式得到脆弱性定义为

3 脆弱性分析

其中

闭环系统的特征根均处于左半平面，因此系统处于稳定状态，下面对其进行脆弱性分析。

系统存在三个可变参数的情况下，计算系统的脆弱性为

此时系统脆弱性变大说明了，在其中两个参数变化的情况下，导致系统失去稳定的第三个参数的最小变化幅度一定小于两个参数不变情况下第三参数的最小变化幅度。同时MATLAB的仿真结果也证明了上述结论。

例2同样是例2的受控对象

反馈环节设计为

其中

系统具有稳定性。下面对其脆弱性进行分析。

4 结论

结合开环频率特性曲线与开环系统对参数的灵敏度计算得到系统的脆弱性指标，脆弱性指标越大，参数相对很小的变化将导致系统不稳定；脆弱性指标越小，系统受参数影响程度越小。在系统设计时，通过对脆弱性指标进行分析，结合实际中系统参数的可变化范围，可以预见和减少在系统实现时出现的问题。

[1] Whidborne J F,Istepanian R S H,Wu J. Reduction of controller fragility by pole sensitivity minimization[J]. Automatic Control IEEE Transactions on, 2001, 46(2):320-325.

[2] KEEL L H,BHATTACHARYYA S P.Robust,fragile,or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098 – 1105.

[3] 何朕,王广雄,张静,等.控制系统的脆弱性分析[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(1).

[4] 王广雄,张静,朱井泉.倒立摆的输出反馈控制:脆弱性和鲁棒性分析[J].电机与控制学报,2002, 6(3):221-223.

[5] 多尔夫.现代控制系统[M].清华大学出版社,2008.

[6] Keel L H,Bhattacharyya S P.Robust,fragile, or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098-1105.

System vulnerability analysis based on frequency characteristics and parameter sensitivity

Zhang Kunpeng,Su Yongqing,Zhao Wenda
(electronic and information engineering,Tongji University,Shanghai,201800)

Vulnerability is a token of the parameter sensitivity of closed loop control system.In this paper,through the analysis of control system of open-loop frequency characteristic and sensitivity of the system parameters to the quantitative analysis of vulnerability,when the open-loop frequency characteristic curve from the critical point (-1,0j) closer,the stability of the system is easily damaged;at the same time the system of a more sensitive parameter,system characteristics is also relatively easy to change.In fact, there are some uncertainties in the parameters of the system,which may lead to the design of the system can not be realized.

parameter sensitivity;frequency characteristic;control system;vulnerability