从实数不等式到矩阵不等式的演变

胡汭

（铜陵学院，安徽 铜陵 244061）

从实数不等式到矩阵不等式的演变

胡汭

（铜陵学院，安徽 铜陵 244061）

文章通过矩阵的相关知识，将两个实数不等式演变到矩阵迹的不等式以及矩阵的范数不等式，并且得到该范数不等式的变形形式；在该方法中主要应用矩阵论中半正定Hermite矩阵、酉矩阵以及矩阵迹的相关知识得到两个简单的实数不等式的推广形式。

实数不等式；矩阵的迹；范数；正定矩阵

众所周知，不等式理论在矩阵理论中占有重要的地位，它渗透到数学的各个领域，当然随着现代科学的发展，矩阵不等式理论已经在工业生产、经济管理和交通运输等多个领域都有着深入的渗透。随着矩阵不等式理论的广泛应用，科学家们不断将矩阵理论知识转化为科技成果。这些新成果不仅使得人们享受它带来的财富和便利，更使得人们对矩阵理论知识有了新的和更深入的思考，并将矩阵理论划分为更细的分枝。本文通过对矩阵理论知识的研究得到一种新方法，这种新方法是将两个实数不等式演变到矩阵迹的不等式以及范数不等式，并给出了该范数不等式的推广形式。这种方法就是本文要阐述的精髓。

1 预备知识

定义1 A＝（aij）为n阶复方阵，称它的对角元素之和为矩阵A的迹，称为trA，即若 l1，l2，……，ln为A的特征值，则成立。[1]

定义2 A＝（aij）为n阶复方阵，定义，则它是一个矩阵范数，称它为Schatten p-范数.当p=2时，称之为Hilbert-Schmite范数（或Frobenius范数），且知A*为A的共轭转置。‖A‖2是酉不变范数，即对任意的酉矩阵U，V有‖UAV‖2=‖A‖2成立[1]。以下k，n均为正整数[1]。

引理1 对任意大于等于零的实数x，不等式x3+1≥x2+x都成立。

引理3 （Neumann）设A，B为两个n阶Hermite阵，它们的特征值分别为λ1≥λ2≥…≥λn和μ1≥μ2≥…≥μn则

这里l1，l2，……，ln为A的对应于l1，l2，……，ln的标准正交化特征向量[1]。

2 主要结果

定理1 设A为n阶半正定Hermite阵，则有tr（A3＋In）≥trA2+trA

定理2 设A为n阶半正定Hermite阵，则有

定理3 设A为n阶半正定Hermite阵，X为任意n阶复方阵，则有：

定理4 设X，A，B为同阶半正定Hermite矩阵，且trB≥trA，trB≥0，则

定理5 设A，B为n阶半正定Hermite阵，且B≥A，X为任意n阶方阵，则有

[1]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式：第二版[M].北京：科学出版社，2006:4、18、139.

A STUDY ON THE EVOLUTIONS FROM THE REAL INEQUALITY TO THE MATRIX INEQUALITY

HU Rui
（Tongling University,Tongling Anhui 244000）

Two real inequality are evolved into the matrix trace inequality and norm of the matrix inequality in the paper through the knowledge of matrix.Therefore,the deformation form of the norm inequality is obtained.The positive semi-definite matrix of Hermite,unitary matrix and knowledge relevant to the trace of matrix are applied in the method to get the extension mode of two simple real inequality.

The real inequality；The trace of matrix；Norm；Positive definite matrix

O178

A

1672－2868（2016）06－0011－04

责任编辑：杨松水 校对：陈 侃

2016－08－28

胡汭（1985-），女，安徽六安人。铜陵学院数学与计算机学院，讲师。研究方向：应用数学。