浙江省湖州市双林中学
李建潮 (邮编:6313012)
巧妙换元 奇妙简证一类无理型不等式
浙江省湖州市双林中学
李建潮 (邮编:6313012)
文[1]提出了如下两个有趣的无理型不等式猜想:
设a、b、c是满足abc=1的正数,则
①
②
文[2]证明了这一猜想,并于文末提出如下一般性问题:
若a、b、c是满足abc=1的正数,则使不等式:
③
成立的最佳常数λ是多少?
文[3]发现对λ≥0,③式恒成立,即文[3]建立并证明了如下不等式:
设a、b、c∈R+,且abc=1,λ≥0,则
④
但唯一的缺憾是文[3]的证明过程过于冗长,影响了可读性.出于“数学的本质往往是最简单的”的考虑,笔者改进文[3]的换元角度,让④式的证明趋于更合理、更明快.
事实上,如若对④式作如下换元:令
则xyz=abc=1,并从中反解出:
(*)
代入④,可化为
所以,④式等价于如下不等式:
设x、y、z∈R+,且xyz=1,λ≥0,则
⑤
以下证明⑤式:
其次,利用三维柯西(Cauchy)不等式:
所以,⑤式获证,即④式得证.
设a、b、c∈R+,且abc=1,λ≥0,则
⑥
设a,b,c∈R+,则
⑦
评注 文[3]在证明④式时选择了前一种代换,转而把证明④式归结为证明⑥式,而这种代换对证明⑥式绝非是一桩易事.证明不等式往往就“差”在那么一点技巧性上,而这又恰恰是不等式证明的一个显著特点,特别是数学竞赛与初数研究.
1 宋庆.关于一些不等式的研究与讨论[J].中学数学研究(江西),2012(12)
2 吴裕东.一对无理不等式猜想的证明[J].不等式研究通讯,2013(1)
3 汪长银.两道猜想不等式命题的统一推广[J].数学通讯(下半月),2014(7)
2016-09-28)