我关于探究“分式方程的解法”的新思考

徐文波

摘 要：苏科版数学“8.5分式方程”是一堂经典的课，这一节难点是引导学生探究分式方程的解法和理解分式方程产生增根的原因。以往的教学方法都是，在解整式方程的基础上，引导学生采用类比的方法，得出分式方程的解法。就分式方程解法的探究方式谈谈看法，这节课如果能从分式等于零的角度出发，引导学生总结出分式方程的解法。

关键词：分式方程；分式；增根

苏科版数学“8.5分式方程”是一堂经典的课，这一节的难点是引导学生探究分式方程的解法，并让学生理解分式方程产生增根的原因。有不少老师在讲公开课的时候，都会选择这一节课。我也听了不少这一节的公开课，有经验丰富的老教师，也有年轻有为的名教师。但所听到的课都大相径庭，都是在让学生模仿解整式方程的基础上解分式方程，即先让学生去分母，最后让学生检验。通过老师的耐心讲解和大量练习，最后学生都知道了如何解分式方程，也知道要把根代入最简公分母去检验。可很多学生却不能理解为什么要检验，为什么要代入最简公分母里检验。这里，关于这一节的教学，关于分式方程解法的探究方法，我想从“一个分式等于零”的角度谈谈另外一种探究方式，让学生从根本上理解分式方程的解法。

我简单地设计了如下探究过程：

探究一：如果分式=0，那么A和B应该满足什么条件？为什么？

这时学生在以往的知识基础上很容易得出：A=0且B≠0。因为分母不能等于零。

探究二：那么如果=0，你能猜出x的值吗？x能等于-1吗？

在探究一的基础上，学生能够得出：x=0且x≠-1当x=0时，x+1≠0，于是x=0就是方程的解。

探究三：你能把=0变形为=0的形式吗？你能算出x的值吗？x能等于-1吗？

这时学生在老师的引导下能把方程左边变形成：=0，进而得出：x=2且x≠-1。当x=2时，x+1≠0。于是x=2就是方程的解。

探究四：在前面的基础上，你能把分式方程变形为=0吗？你能解出分式方程吗？分式方程呢？

对于引导学生把它变形为=0的形式，例如：

通分得：

移项得：=0，即=0。这时学生能够得到24x-20（x+1）=0且x（x+1）≠0，得到x=5，而且当x=5时，x（x+1）≠0。于是得到x=5就是分式方程的解。

通过这样的引导，学生知道采用把一个分式方程变形为=0的形式来解分式方程，当然这种方法很笨，很繁，可是却能让学生从根本上去理解“分式方程的解法”。当然更符合学生的知识发展顺序，也符合数学的严密性、逻辑性。

接下来我们就可以在这种笨方法的基础上，开始简化这种

方法。

可以让学生观察刚才解分式方程的过程，把和=0和24x-20（x+1）=0放在一起比较，让学生思考我们最终解出x=5是利用哪个方程解出来的？我们又是如何得到整式方程24x-20（x+1）=0的呢？对于整式x（x+1）又有什么用呢？是最后考虑它，还是先考虑它呢？对于分式方程你认为我们还可以怎样去解呢？

通过这样的引导，学生自然会想到，我们在解分式方程的时候，不如先假设最简公分母不等于零，利用等式性质2把分母去掉，从而得到一个关于分子的整式方程，在解完关于分子的整式方程以后，然后再去考虑公分母。于是我们就得到分式方程的基本解法。

三大步骤：去分母（把分式方程变成整式方程），解整式方程，检验（把整式方程解出的值代入公分母）。

于是我们就可以这样去解分式方程：

去分母得：24x=20（x+1）

解这个整式方程得：x=5

检验得：当x=5时，最简公分母x（x+1）≠0

所以x=5就是方程的解。

接下来就是例题讲解和学生练习。

以上就是我對分式方程解法的简单课堂设计，我认为采用这种方法，能让学生深刻感受到知识的演化过程，体会知识的内在联系；这种设计更符合学生的认知情感，学生更容易接受，对知识的理解、记忆更深刻；这种设计也符合数学的严密性、逻辑性；也符合数与式的衔接。所以我认为对于分式方程解法的教学，这种探究方式或许更好。

编辑 孙玲娟