基于分布函数的混合型随机变量数学期望和方差的计算

宁荣健，余丙森

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)



基于分布函数的混合型随机变量数学期望和方差的计算

宁荣健，余丙森

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)

[摘要]在文献[1]的基础上，利用分布函数，介绍一种适合工科概率论教学的混合型随机变量的数学期望和方差的计算方法.

[关键词]分布函数； 混合型随机变量； 数学期望； 方差

1问题的提出

在工科概率论的教学过程中，我们介绍了下列例题.

例设随机变量X~U[-1，2]，Y=max{X，1}，求EY和DY.

解由题意知X密度函数为

利用一维连续型随机变量函数的数学期望计算公式得

故

但是，有些学生求得Y的分布函数为

似乎得出Y的密度函数为

目前诸多工科概率论与数理统计教材中，只给出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望定义及相关计算，对于混合型随机变量的数学期望并没有介绍，使得在教学中有所欠缺.

事实上，对于任意的随机变量X，其分布函数

F(x)=P{X≤x}，x∈R

完全反映了其分布情况，包含了分布的所有信息，自然也确定了其数学期望是否存在，以及数学期望存在时数学期望的取值.那么如何利用分布函数F(x)来研究X的数学期望呢？

在文献[1]中，通过Lebesgue-Stieltjes积分给出了任意随机变量数学期望的一般定义.

并且文献[1]还给出了下列结论.

特别地

因此

显然定义1和定理1中的Lebesgue-Stieltjes积分的计算很不方便，因此需要寻求一个适合工科教学的、通俗易懂的随机变量数学期望和方差的计算方法.

2主要结论

定理2[1]设随机变量X的分布函数为F(x)，如果

都收敛，则EX存在，且

图1

因此，定理2中

的几何意义为：数学期望EX等于图1中y轴右边阴影部分的面积减去y轴左边阴影部分的面积.

利用积分换元法，并考虑到F(x)处处右连续，F(-x)处处左连续，可得

其中F(x+0)表示F(x)在点x处的右极限；F(-x-0)表示F(x)在点-x处的左极限.因此

由于F(x)只有可列个间断点，故

证如果X的取值非负，则当x<0时，F(x)=0；如果X的取值非正，则当x>0时，F(x)=1，因此由定理2即得推论1.

证记Y=X2，则Y的取值非负，且当y≥0时，Y的分布函数为

由推论1

由于F(x)只有可列个间断点，故

利用定理2和定理3即可计算X的方差.一般地，可得X的k阶原点矩计算方法.

其中k为正整数.

证当k为偶数时，与定理3的证明类似，可得

当k为奇数时，记Y=Xk，则Y的分布函数为

由定理2

因此，当k为正整数时，

特别地，当k=1时即为定理2；当k=2时即为定理3.

3应用举例

例1设随机变量X~U[-1，2]，Y=max{X，1}，利用定理2和定理3计算EY和DY.

解Y的分布函数为

由题意知Y的取值非负，由定理2的推论1和定理3知

所以

与前面的计算计算结果完全一致.

我最好奇的是无影屋。不是我好奇心太强，而是它真的很奇怪。一个大房间里，只摆放着几个茶几，墙上画着画，那些画看起来都是黑夜的场景，画上的人点着灯，做着不同的事，可他们都没有影子，看着很诡异。每次我进这个无影屋，我都会感到纳闷和好奇，难道是工作人员在画这些画时，忘记了画影子吗？

这是将1997年数学四考研试题改编而成.原问题为求X的分布函数F(x)=P{X≤x}，其结果为

(计算过程略).

不难发现，本例中的X为混合型随机变量，因此不可按离散型随机变量和连续型随机变量的计算方法计算EX和DY，而且也无法运用随机变量函数的关系计算.但若用定理2和定理3中的方法计算，则问题显得比较简单.

所以

例3设随机变量X的分布函数为F(x)，如果EX和DX均存在，且

P{X≤x}=P{X≥-x}， x∈R，

即X的概率分布关于y轴对称，则

解由题意知F(x)=1-F(-x-0)，得F(x)+F(-x-0)=1和F(-x-0)=1-F(x)，所以

[参考文献]

[1]林正炎，陆传荣，苏中根. 概率极限理论基础[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2]杜雪樵，凌能祥，等.概率论与数理统计[M]. 合肥：合肥工业大学出版社，2009.

[3]盛骤，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社， 2010.

The Computing Method of Mathematical Expectation and

Variance about Mixed type Random Variables based

on Distribution Function

NINGRong-jian，YUBing-sen

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:The authors introduce a computing method of mathematical expectation and variance about mixed type variables with distribution function based on reference [1]. An application to the computation of expectation and variance is carried out to show the approach is suitable for the teaching of engineering probability theory.

Key words:Distribution function; mixed type random variables; mathematical expectation;variance

[收稿日期]2014-09-15

[中图分类号]O211.3

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)02-0048-05