关于独立随机变量序列强极限定理的注记

孙飞跃，朱大英

(江苏大学理学院, 江苏镇江212013)



关于独立随机变量序列强极限定理的注记

孙飞跃，朱大英

(江苏大学理学院, 江苏镇江212013)

[摘要]构造出一个独立随机变量序列的例子,说明Shiryaev的一个关于独立随机变量序列强极限定理是一个新的类型的定理.

[关键词]独立随机变量； 强极限定理； 三级数定理

1主要内容

设{Xn,n≥1}是独立随机变量序列,Loève证明了如下强极限定理：

定理A(Loève,见[1,p.117])设{Xn,n≥1}是独立随机变量序列,如果

且当1≤p≤2时,EXn=0,则

(1)

Shiryaev利用Kolmogorov三级数定理证明了如下定理：

定理B(Shiryaev,见[2,p.387])设{Xn,n≥1}是独立随机变量序列,且EXn=0.如果

(2)

本文构造出一个独立随机变量序列的例子,它满足定理B的条件,但不满足定理A的条件.因此定理B是一种新的类型的定理.

例1设{Xn,n≥1}是独立随机变量序列,且Xn具有如下分布密度函数

(3)

(4)

(5)

所以{Xn,n≥1}不满足定理A.而

(6)

所以有

由上面的例子我们可以知道定理B是一个关于独立随机变量序列强极限定理的一个新定理.

[参考文献]

[1]Teicher H , Chow Y S. Probability theory[M]. New York:Springer-Verlag,1988.

[2]Shiryaev A N. Probability[M].2nd.ed.New York:Springer-Verlag,1984.

A Note on the Strong Limit Theorem for Independent

Random Sequences

SUNFei-yue,ZHUda-ying

(Faculty of Science. Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

Abstract:An example on the independent random sequences is given, which illustrates the strong limit theorem gained by Shiryaev is a new theorem.

Key words:independent random variables; strong limit theorem; Kolmogorov’s three-series theorem

[收稿日期]2014-04-23；[修改日期]2014-12-11

[中图分类号]O211.4

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)02-0024-02