横看成岭侧成峰

在生活中我们可以观察到很多拉伸变换的现象，比如弹簧的拉伸等. 这让我们数学探究小组联想到了能否借用“拉伸”来帮助我们解决正在学习的圆锥曲线相关问题，这引起了我们的积极讨论. 在几何图形中，长与短、圆与椭圆都可以经过拉伸（伸缩）来相互转换，而这个转换的代数本质就是换元. 我们小组把这个转换方式称为拉伸原理. 现在就让我们来具体谈谈什么是拉伸原理，以及它的妙用和展望.

■千呼万唤始出来

——初探拉伸原理

如果将一根弹簧沿其线性方向拉长一倍，其长度变为原来的两倍；如果将一张图片沿一边拉伸一倍（另一边不变），面积变为原来的二倍（就像PS中的自由变换），如图1-1所示.

在此，我们把图形沿某一维度伸长或缩短的变换叫做拉伸变换，此文中称为拉伸原理. 通过探究，我们发现：一维图形沿其长度方向拉伸“前后图形长度比不变”；二维图形沿某一维度拉伸“前后图形面积比不变”；三维图形沿某一维度拉伸“前后图形体积比不变”.

从代数角度看，拉伸原理就是代数换元，它们的关系如表1所示.

对于椭圆我们可以将其看做是由圆沿某一方向拉伸变换形成的. 当圆心处于原点时设圆方程为：x2+y2=a2（a>0），我们假设ny=y1即沿y轴缩短n倍；此时将其代入原方程得：■+■=1，方程满足椭圆的标准方程，圆被拉伸为椭圆. 椭圆性质与圆有相似之处，如图2.

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图2

A.椭圆与圆都关于原点、x轴、y轴对称

B. Q（Q1）点从A到B运动过程中△ABQ（Q1）的面积先变大后变小，且Q（Q1）顶点时最大，∠AQ（Q1）B变化亦如此

C.椭圆离心率e越大，n越大，即拉伸程度变大离心率变大

■二、众里寻他千百度

——巧用拉伸原理

前面简单介绍了什么是拉伸原理，那么究竟拉伸原理在我们的数学学习中有什么具体的应用呢？下面就通过几个简单例子来看看拉伸原理是如何化腐朽为神奇的.

（一）椭圆中某些面积最值问题

已知椭圆上任两点可以运用拉伸求椭圆上另一点与这两点构成三角形的面积最大值

原理：二维拉伸面积比不变

将图中问题转换为：已知圆上任两点，求圆上另一点与这两点构成三角形的面积最大值.

已知圆上任两点，则两点连线的中垂线与圆的交点和已知两点构成的三角形面积最大.在圆中所得的面积经过拉伸变换后即为椭圆中面积.

如图3，有一椭圆O：■+■=1，求椭圆上一点Q与B，C所围成三角形的面积的最大值.

a. 先将椭圆拉伸为圆：令■y=n，所以O：■+■=1，即：x2+n2=a2 ①.

b. 求圆中S■的最大值.

直线BC1：y=-x+b，

直线OQ1：y=x ②.

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图3

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图4

由①②得Q1■，■或Q1-■，-■，当Q在下方时面积最大，所以Q取-■，-■.

Q到BC1的距离d=■，BC1长度BC1=■a，S■=■dBC1.

c. 将S■乘以■的最大值缩放为原椭圆S△QBC的最大值：

S△QBC=S■·■=■.

同样，若要求已知斜率为k的直线与椭圆相交弦长的最大值亦可用此法.

下面我们来看一道例题

■ 设椭圆中心在原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点. 求四边形AEBF的面积最大值.

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图5

解 把题目中坐标y轴换为n轴且满足2y=n，则原坐标系中椭圆变为■+■=1，即x2+n2=4. 在此圆中易得：当EF⊥AB时SAEBF最大. 在xOn坐标系中Smax=2■×4×■. 又y轴与n轴满足2y=n，所以在xOn系中S1max=■=2■.

（二）拉伸原理求椭圆切线

我们可以通过拉伸的方法来求圆锥曲线上一点（x0，y0）处的切线方程，主要是数学计算和换元的方法，如下：如图6，设圆x2+y2=1上有一点M1（x0，y0），拉伸此圆使得M1成为M（λx1，μy1），并设λx1=x■，μy1=y0.

①求圆的M1处切线方程l1，斜率为k1，若存在l1：k1·■=-1？圯k1=-■，切线过（x1，y1）？圯y′-y1=k1（x′-x1）？圯l1方程：y′=x′·■+■，l■过点■，0，0，■.

若k1不存在：y1y′+x1x′=1.

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图6

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图7

②求拉伸后图形M处切线方程l：斜率为k

若存在k：则l过点■，0，0，■？圯■=■？圯■+■=1？圯■+■=1.

不存在k时：■+■=1. 综上：此拉伸图形M处切线方程为■+■=1.

由于μ，λ∈R，μ，λ>0时，l为标准椭圆切线；μ，λ>0且μ，λ≠0时，l为标准双曲线切线；μ，λ<0时，无意义；μ·λ=0时，暂不讨论.

所以此切线方程可写为：■+■=1（μ，λ>0）或■-■=1（μ<0，λ>0）或■-■=1（μ>0，λ<0）.

“②”还可用稍简单的方法：因为μy′=y，λx′=x，所以y■y′+x1x′=1拉伸后的是■+■=1，即是■+■=1.

下面来看一道例题

■ 已知直线l与椭圆x2+2y2=2交于A，B两点，线段AB中点为P，设直线l斜率为k1（k1≠0），直线OP斜率为k2，求k1·k2的值.endprint

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图8

解 把题目中坐标y轴换为n轴且满足■y=n. 在xOn系中易得l⊥OP，即■k1×■k2=-1，所以k1×k2=-■.

（三）用拉伸巧证双曲线某些性质

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图9

①如图9，已知曲线：■-■=1（等轴双曲线）过双曲线上任一点P，分别平移两渐近线l1：y=x；l2：y=-x，过点P得l′1，l′2，则l1，l2，l′1，l′2所围得的图象面积S如何？

猜想：面积S为定值.

证明：图中双曲线为等轴双曲线，l1⊥l2，P（x1，■），现在可以l2，l1分别为新的坐标轴x1轴、y1轴，在新坐标系x1Oy1中，P■，■.

如图10，此时双曲线变成了反比例函数对应图象，此时易得出阴影部分为矩形，面积S为定值，S=■（x1-■）·■x1-■·（x1-■）=■（定值）.

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图10

亦可知在新坐标系x1Oy1中双曲线的方程为y=■（反比例函数）.

②若双曲线不是等轴双曲线，此时以上结论是否成立？下面让我们一起来探究一下.

如：■-■=1（a2≠b2），此时可用拉伸原理解决，即将y轴换成n轴并满足如下关系：n轴上每个坐标与y轴上每个坐标满足n=■y，把原坐标系中y换为n得：在新系xOn中双曲线为：■-■=1，此时双曲线变为等轴双曲线，S1如①所示为定值■.

又一维拉伸中面积与拉伸比例呈一次线性关系，所以在xOy系中S=S1■=■，综上①②所述面积S为定值■.

■三、衣带渐宽终不悔

——展望拉伸原理

拉伸原理折射出的是一种转换角度看问题的方法，我们可以此为基点，发现更多的转换思路.

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图11

例如，对于圆锥曲线，我们可以把它看做一个圆沿曲面拉伸而在平面上形成的投影. 平面直角坐标系是空间的一个截面，就像一张投影布，它能投射出拉伸后图形的影像. 我们可以在空间的一个截面建一个平面直角坐标系，这个系的x轴正半轴和负半轴在无穷远处相交，y轴也一样.一个端点在原点的圆，我们将其沿某一方向将其拉扁，随平扁程度加大，e从（0，1）变为1再变为（1，+∞）. 起初由于e不大，椭圆可近似看做曲面空间上一点，也即是说，它仍近似在平面上. 用直角坐标系与近似平面重合，得到的投影还是椭圆，如图11.

随e的增大，椭圆沿曲面延伸. 但由于当e增大到1时，我们再用平面直角坐标系去截，此时原图形左端点仍与原点重合，但右端点在曲面另一侧，此时截得的投影不封闭，不完整，无限延伸，是抛物线. 如图12.

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图12

当e再增大，e>1，原图形左端点仍在原点，右端点绕过曲面另一半，此时再去截，所用仍为平面直角坐标系，则得到双曲线. 如图13.

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图13

在e=1与e>1时，所截图形区别除无限延伸方向外，还有就是：对于抛物线，由于其截面为对称轴，固它的曲面延伸方向趋近于曲面椭圆顶点，该沿伸曲面斜率越来越小，曲线越来越趋近直线. 对于双曲线，它的截面终点是椭圆上除顶点外的点，固双曲线就像是作用在用超大倍数放大镜看椭圆一样，它的曲面延伸趋向于一条直线.

对于一些问题的思考可以得出许多有趣的结论. 如李宗吾先生曾经将物理学与心理学对比，发掘其互通之处，著了《心理与力学》一书.又如拉伸在哲学方面也有所体现，我们将一个物体拉伸变换，就是换了一个角度看问题. 但结果是每种角度在相应的条件下所映射出的结论都是成立的，这似乎肯定了存在的合理性，也就是常说的“存在即合理”，这些思考是否一定正确？我们还不得而知. 对于这些问题的思考拓展了我们的思维，丰富了我们的课余学习生活，这是我们求真、求实、求精的追求，在这个过程中我们收获的是合作探究的精神和探索追求的快乐. 希望我们探究小组的新思路能带给大家一点小小的启示，同时我们还在对其他问题进行探究（如拉伸原理的三维应用、坐标转换等），期待我们可以给大家带来更多新的惊喜.

注：“PS”是Adobe Photoshop的简称，是由Adobe Systems开发和发行的图像处理软件. ■endprint