查漏补缺之立体几何

朱斌

立体几何在高考中占有极其重要的地位，主要考查位置关系及有关的几何计算问题，其中位置关系、距离及角一直是考查的热点. 本文对立体几何知识作一梳理，希望对同学们有所帮助.

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平面的基本性质

（1）如何证明若干点共线问题及点、线共面问题？

作答：______________________

（2）你知道如何证明三线共点吗？

作答：______________________

（3）如何用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图？

作答：______________________

（1）①证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面的交线内即可. ②证明点、线共面有两种基本方法：先用部分点、线确定一平面，再证余下的点、线都在此平面内；或者分别用部分点、线确定两个或多个平面，再证这些平面是重合的.

（2）证明三线共点，只需证明其中两线相交，然后证明另一条也过交点即可.

（3）步骤如下：①两坐标轴成45°（或135°）；②平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半.

异面直线

（1）证明两条直线是异面直线的方法有哪些？

作答：______________________

（2）求两条异面直线所成的角的步骤是什么？

作答：______________________

（1）证明两条直线是异面直线，一般可利用异面直线的判定定理以及反证法.

（2）求两条异面直线所成的角的步骤：①找出或作出有关角的图形；②证明它符合定义；③求角.

空间的平行关系

（1）判定直线与平面平行的方法有哪些？

作答：______________________

（2）判定平面与平面平行的方法有哪些？

作答：______________________

（1）利用定义采用反证法；利用线面平行判定定理；利用面面平行性质定理.

（2）利用定义；利用判定定理；利用面面平行的传递性；利用线面垂直的性质.

空间的垂直关系

（1）判定线、面垂直的常用方法有哪些？你还记得线、面垂直的性质定理吗？

作答：______________________

（2）三垂线定理及其逆定理主要用于哪些方面？

作答：______________________

（1）①利用判定定理；利用平行线垂直平面的传递性；利用面面平行的性质；利用面面垂直的性质. ②过平面外一点，有且只有一条直线垂直于这个平面；垂直于同一条直线的两个平面平行.

（2）三垂线定理及其逆定理主要用于：立体几何的证明问题；立体几何的计算问题；二面角问题（主要是构造二面角的平面角）.

空间向量及其运算

（1）如何求空间中任意一点A的坐标？

作答：______________________

（2）利用向量可以解决立体几何中的哪些问题？

作答：______________________

（1）过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x，y轴的平行线交x，y轴于C，D，则由■，■，■的长度和方向便可求得点A的坐标.

（2）利用向量可以解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，应用的关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表示已知点的坐标.

空间的角

（1）两条异面直线所成的角的取值范围是多少？直线和平面所成角的取值范围呢？二面角的平面角的取值范围又是多少？

作答：______________________

（2）如何找直线和平面所成的角？

作答：______________________

（1）两条异面直线所成的角的取值范围是0，■；直线和平面所成角的取值范围是0，■；二面角的平面角的取值范围是[0，π].

（2）过直线上一点作平面的垂线或找直线上一点到平面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面上的角（斜线和斜线在平面上的射影所成的锐角），然后用向量求解或解直角三角形.

空间的距离

你知道求点到面以及异面直线的距离公式吗？

作答：______________________

d=■（P为平面α外一点，a，n分别为平面α的斜向量和法向量，d为P到α的距离）.

d=■（n是异面直线l1，l2公垂线上的方向向量，a为l1，l2上两点连线构成的向量，d为l1，l2的距离）.

球

（1）你还记得球的表面积和体积公式吗？球的截面圆有哪些性质？

作答：______________________

（2）如何求球面上A，B两点的距离？

作答：______________________

（1）①S球面=4πR2；V球=■πR3. ②球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=■.

（2）求球面上A，B两点的距离的一般步骤是：①计算线段AB的长；②计算∠AOB（注意结果是用角度表示的还是用弧度表示的），∠AOB=α；③求过A，B，O的大圆的劣弧■的长l（O是球心），l=αR. ■endprint