二面角的大小的一个简单求法

本文简介了二面角大小的几种求法，并针对法向量法求二面角时存在的两法向量的夹角与二面角的大小的关系判定问题提出了一种改良解法——指向向量法.

常见的二面角的求法以几何法和向量法为主. 其中几何法有定义法、垂面法、三垂线法和射影面积法等；向量法通常是指法向量法. 在运用法向量法求二面角的大小中的难点是两个平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或互补的判定，教材和众多资料上的处理大多数是通过观察立体图形，主观判断二面角的大小，这样处理学生总感觉很难把握，教师们也十分担心，进而思考得出了很多很好的解决办法，如：共面定理判定法、一进一出法以及辅助向量法等.

这里“一进一出法”笔者是这样跟学生阐述的，二面角可以看做一个张开的嘴巴，两个半平面的法向量的方向分别为嘴巴里和嘴巴外时，这两个法向量的夹角就是二面角的大小.

而辅助向量法是指在二面角的棱上和二面角的内部各任取一点构成一个向量，将该向量分别与两个平面的法向量求数量积，所得的两个数量积同号时，这两个法向量的夹角与二面角互补，异号时相等.

上述方法都是建立在法向量法的基础上来研究二面角的求法的，然而能否绕开法向量法来通过向量求二面角的大小呢？笔者在教授“向量的应用——点到直线的距离”时偶得二面角的一个简单求法.

■直线的单向法向量

问题：已知直线AB及其外一点P，过P作PC⊥AB，垂足为C，试用向量■和■表示向量■.

■

图1

解：■在■上的投影为

■cos〈■，■〉=■

则■=■cos〈■，■〉·■=■，

所以■=■-■=■-■.？摇？摇？摇？摇①

为了便于后续计算，去分母，得

■·■2=■·■2-（■·■）·■.？摇？摇？摇 ②

这里将②称为直线AB关于点P的单向法向量n，记作

■

■二面角的求法

结论：已知二面角A-BC-D，直线BC关于点A，D的单向法向量分别为m，n，则二面角A-BC-D的大小为〈m，n〉.

结合二面角的平面角的定义不难证明.

■运用举例

下面我们应用单向法向量法来求二面角的大小.

例题：如图2，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1，PD=2.

（1）求证：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q-BP-C的余弦值.

■

图2

解答：（1）证明略.

（2）如图2所示，以D为原点建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），P（0，2，0），C（0，0，1），Q（1，1，0），B（1，0，1）.

所以■=（-1，2，-1），■=（-1，0，0），■=（0，1，-1），所以■2=6，■·■=1，■·■=3.

设直线BP关于点C的单向法向量为m，则m=■·■2-（■·■）·■=（-6，0，0）-（-1，2，-1）=（-5，-2，1）.设直线BP关于点Q的单向法向量为n，则n=■·■2-（■·■）·■=（0，6，-6）-3（-1，2，-1）=（3，0，-3）. 所以cos〈m，n〉=■= -■. 即二面角Q-BP-C的余弦值为-■.

■解法评析

直线AB关于点P的单向法向量法可以直接求得二面角的大小，并且可以有效地规避利用两个平面的法向量法求二面角大小时的定角问题，该方法适用于有棱二面角大小的计算问题，只需确定了4个点的坐标，后续计算也较为容易. ■endprint