三重积分的计算方法

蒋银山

摘 要 三重积分有几种计算方法，如先一后二法、先二后一法、利用柱面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分、以及利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性等，文章对这几种计算方法进行了讨论，并分别举例说明。

关键词 先一后二 先二后一 柱面坐标 球面坐标

中图分类号：O172 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.12.022

Calculation of Triple Integral

JIANG Yinshan

（Department of Public Courses Teaching， South China Business College，

Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545）

Abstract There are several calculation methods of triple integral， such as the first one then two methods， the first two then one method， the use of cylindrical coordinates triple integral calculation using the spherical coordinates triple integral calculation， and the use of parity symmetry with the plot function integration region etc. several articles in this calculation method are discussed and illustrated respectively.

Key words first one then two； first two then one； cylindrical coordinates； spherical coordinates

方法一：先一后二法。

定理1 设区域 是上下底分别为曲面 = （）， = （）的曲顶曲底的柱体，它在面上的投影为，若函数 （）在 上可积，且对任意的（）， （）在[（）， （）]上可积，则 （） = （）。

其中 = {（）∣（），（）≤≤（）}。

方法二：先二后一法。

定理2设空间区域 夹在二平面 = ， = 之间过区域[]上任意一点作垂直于轴的平面，截 得平面区域，若函数 （）在 上可积，且对任意的[]， （）在上可积，则 （） = （）。

其中{（）∣≤≤，（）}。

方法三：利用柱面坐标计算三重积分。

当 是柱体或柱体的一部分，被积函数含 + 时用柱面坐标计算三重积分时，被积函数不能再出现与； + = ， + + = + ，柱面坐标：先对积分，再对积分，最后对积分。直角坐标与柱面坐标的相互转化为

（） = （， ， ）。

方法四：利用球面坐标计算三重积分。

当 是球体或球体的一部分，被积函数含 + + ，用球面坐标计算三重积分时，被积函数不能再出现，与； + = ， + + = ，球面坐标：先对积分，再对积分，最后对积分。直角坐标与球面坐标的相互转化为 （） = （， ， ）。

方法五：利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。

其余 = 0与 = 0类似可得。

例1 计算 = （ + ），其中 为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面 = 8所围成的区域。

解：方法一“先一后二法”。

= {（）∣（）， ≤≤8}

= （ + ） = （ + ）

= （ + ）（8）

= （8） =

方法二：“先二后一”法。

= {（）∣0≤≤8， （）}其中 ： + = 2。

= （ + ） = （ + ）

= =

方法三：柱面坐标法。

= （ + ） = = 2（8） =

例2 计算三重积分（ + ）其中 是由曲面 = 与 = 所围成的区域。

= + = = 1 = 1 =

+ + = 1 = 1 = 1， = 1

（ + ） = （ + ） =

例3 计算，其中 由 + + ≥与 + + ≤2所确定。

方法一：球面坐标法。

因为几何体在平面的上半部分，所以0≤≤。

： + + = = = 0， =

： + + = 2 = 2 = 0， = 2

=

= 2

= =

方法二：设 1： + + ≤， 2： + + ≤2，则

=

下分别计算与先计算。

方法一：直角坐标下先二后一。

= {（）∣0≤≤2， （）}其中 ： + ≤。

= = （） = 。

方法二：由形心计算公式得。

= · = 1 €？ €？ = 。

方法三：利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算三重积分。

= （ + 1） = （） + 1 = 0 +

同理可用上面三种方法可得。

=

故 = =

例4 设 ： + + ≤1，计算。

解：因为 关于 = 0对称，被积函数关于是奇函数。

所以 = 0。

参考文献

[1] 武忠祥.高等数学[M].西安交通大学出版社，2011（4）.

[2] 叶盛标，叶长春.考研数学思维定势[M].高等教育出版社，2008（5）.endprint