关于两等量同种点电荷中垂线上场强最大值的再思考

关于两等量同种点电荷中垂线上场强最大值的再思考

陈一垠

(南京师范大学教师教育学院江苏 南京210097)

摘 要：两等量同种点电荷连线中垂线上的电场强度存在一极大值点，高中阶段学生由于数学知识不足,无法求出该极大值点.本文通过代数求导法以较为简洁的步骤精确地求出该极大值点的位置以及场强的最大值.

关键词：点电荷等量电场强度最大值

收稿日期：(2014-12-19)

在高中物理“电场强度”这一节内容中，有这样一个问题：真空中的两个位置分别放有两等量同种点电荷，从两点电荷连线的中点开始沿其中垂线向外，电场强度的大小怎样变化？

对于这个问题我们首先可以进行定性的判断，即这两个点电荷中点处的电场强度为零，而无穷远处的电场强度也为零，但是中垂线上的其他位置通过矢量叠加可知电场强度的大小并不为零，那么就可以知道从这两点电荷连线的中点开始沿其中垂线向外，电场强度的大小变化情况为先变大后变小.在高中阶段，学生能够做出这样的回答已经是令人满意的了,但对于已经修过《普通物理》和《高等数学》的物理学科教学工作者而言，这样的定性解答似乎仍意犹未尽，我们不禁要追问一句：在这两个等量同种点电荷连线中垂线上电场强度的最大值究竟在何处？其最大值又是多少？

贵刊2010年第9期“两等量同号点电荷中垂线上场强的极大点”[1]一文用一种类似于数学中的二分法的求解思路求出了电场强度最大值所在的近似位置，方法虽妙，但过程略显繁琐，且没能得到电场强度最大值的准确值，还是有点遗憾.现将文献[1]的计算步骤归纳如下.

图1

如图1所示，假定两等量同种点电荷的距离为2L.计算可得A,B两点电荷在其中垂线上某点P的合场强为

(1)

积化和差，式(1)转化为

(2)

其中，Q为点电荷所带的电荷量，k为静电力常量，α为点电荷到P点的连线与两点电荷连线的夹角.

为求场强的最大值点，对式(2)求导后得

(3)

式(3)为零时求得的α可能为极值的位置.采用无限逼近的方法来确定最大值的位置，即

3cos3α+cosα=0

(4)

由于这里的自变量α的取值范围为0～90°，要满足式(4)，则3α必须超过90°，说明α必定大于30°.然后通过合理选取α的值，以期得到方程(4)的近似解，具体的取值过程如表1所示.

表1　求解式(4)时 α的取值

可见，最终得到的近似解为α=35.265°，将该值代入到式(2)后可得

由于上述解法较为繁琐，笔者提出一种较为简洁的解法.

现假设题设条件仍如图1所示，并取两点电荷连线的中点为O点，设OP=x，则

将这两式代入式(1)后可得

(5)

且这里令x≥0.若要求得场强的最大值，则只要求出函数

(6)

的最大值即可.对式(6)求导得

(7)

令y′=0可解得

将其代入式(5)后可得

这也进一步验证了文献[1]中的近似解已经相当精确，相比而言，第二种解法可以求出场强的最大值的准确值且步骤较为简洁.但由于高中生数学知识的储备有限，这种方法并不需要高中阶段的学生掌握，他们仅需知道在两等量同种点电荷连线的中垂线上存在着两个对称的场强最大值点即可.

参 考 文 献

1杨雄生.两等量同号点电荷中垂线上场强的极大点.物理通报，2010(9)：97

Rethink on the Maximum Electric Field Strength in

the Perpendicular Bisector of Two Same Point Charges

Chen Yiyin

(College of Teacher Education, Nanjing Normal University， Nanjing, Jiangsu210097)

Abstract:there exists a maximum electric field strength in the midperpendicular between the two point charges of the same kind and with equal quantity, which high school students can't solve because of lacking knowledge in Mathmatics. This paper used the method of derivation to figure out the position of the maximum point and the maximum electric field strength succinctly and accurately.

Key words: point charge; equal quantity; electric field strength; maximum